1、正四面体各棱长相等
正四面体是一种由四个相等的三边三角形组成的三维几何图形。正四面体的性质之一是它的所有棱长相等。
要证明这个特性，我们可以从正四面体的对称性出发。正四面体具有三个四重对称轴和四个三重对称轴。这些对称轴将正四面体划分为相等的八个部分。
由于正四面体具有四重对称轴，因此它有四个相等的侧面。这些侧面彼此相交形成正四面体的四个顶点。根据三角形内角和定理，每个顶点与相邻两个顶点之间的角度相等。
正四面体具有三重对称轴，将每个面垂直平分。这意味着每个面有两个相等的边和一个不同的边。由于所有侧面都是相等的，因此每个面上的两个相等边也相等。
因此，我们可以得出，正四面体的四个顶点之间的距离相等。根据三角形边长公式，每个棱的长度等于两个相邻顶点之间的距离，因此所有棱长也相等。
正四面体各棱长相等这一特性在几何和三维建模中具有重要的应用。它使我们能够计算正四面体的体积和表面积，并创建具有正四面体形状的结构和物体。
2、一个四面体各棱长不全相等,但均为1和2
在一个四面体的王国里，所有的棱长都由着王国里特有的数字1和2来支配。这个王国里有一个奇特的四面体，它的棱长并不全部相等，却都巧妙地游走在这两个数字之间。
四面体的两条腰棱长度都为2，它们像两条威武的大柱子，支撑着四面体的稳固。
另外两条底棱则更加灵活，它们一长一短，为1和2。长棱犹如一道挺拔的脊梁，而短棱则像一条灵巧的尾巴。
最令人惊叹的是，这四条棱长构成的六条边，竟然两两相等！两条底棱分别与腰棱相连，组成两个等腰三角形底面。而长底棱和腰棱之间的高棱，与短底棱和腰棱之间的高棱也一对一对地相等。
这个四面体的奇特之处在于，它打破了常见的四面体棱长全相等的规则，却巧妙地利用1和2这两个数字，让它的六条边完美地配对。在这个看似不规则的外表下，隐藏着一份和谐的秩序。
就像生活中的许多事情一样，表面上的不平衡并不代表真正的混乱。只要仔细观察，用心体会，我们就能发现隐藏在其中那份独有的美丽与平衡。
3、若正四面体的棱长为a则其外接球的半径为
若正四面体的棱长为 a，则其外接球的半径为：
推导：
正四面体由四个相同的正三角形面组成，每个面的边长为 a。正四面体的中心到任意一个面的距离为正四面体的半径 R。
设正四面体的中心到任意一个顶点的距离为 h。
由欧几里得几何中毕达哥拉斯定理，我们可以得到：
h^2 + (a/2)^2 = R^2
由于正四面体的每个面都是正三角形，因此从中心到面的距离等于从中心到顶点的距离除以 2。
因此，上式可以写为：
h^2 + (a/4)^2 = R^2
解得：
h = a√(3/8)
由于中心到球面的距离等于半径，因此正四面体的半径为：
R = h = a√(3/8)
4、棱长为4的正四面体的外接球半径
正四面体的棱长为4，即4条相等的边。
正四面体的外接球是与正四面体所有4个顶点都相切的球。
为了确定外接球的半径，我们可以考虑以下步骤：
1. 确定正四面体的对角线长度：
正四面体对角线连接两个对面的顶点。在棱长为4的正四面体中，对角线的长度为√(4^2 + 4^2 + 4^2) = 4√3。
2. 确定正四面体的圆心到任意顶点的距离：
圆心到任意顶点的距离等于外接球的半径。正四面体圆心到任意顶点的距离是圆心到对角线中点的距离。
3. 计算圆心到对角线中点的距离：
对角线中点将对角线分成相等的两个部分。圆心到对角线中点的距离是：
半径 = (4√3/2) / 2 = 2√3
因此，棱长为4的正四面体的外接球半径为2√3。
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