1、两平面相互垂直
当两个平面的法线相互垂直时，这两个平面被称为相互垂直。垂直法线表示两个平面相交形成直角。
若平面 A 的法线为 n，平面 B 的法线为 m，则两个平面相互垂直的条件为 n · m = 0。其中，点乘运算表示两个向量的内积，如果点乘结果为零，则表示两个向量垂直。
相互垂直的平面在三维空间中具有重要的应用。例如，在建筑中，墙壁和地板通常相互垂直，以确保结构稳定和美观。在几何学中，垂直平面用于定义多面体和棱柱等立体图形。
在数学中，相互垂直的平面可以用来定义直线和曲面之间的垂直关系。例如，如果一条直线与一个平面垂直，那么它也与该平面上的所有直线垂直。
相互垂直的平面在数学和现实生活中都有广泛的应用。它们表示两个平面之间形成直角的关系，并为理解和解决几何和空间问题提供了重要的基础。
2、两平面相互垂直,则一平面内的直线必然垂直于另一平面
两平面垂直于彼此时，这意味着它们形成直角。此时，一个平面内任意一条直线与另一个平面相交，必然会在交点处形成直角。
这是因为，如果这条直线不垂直于另一个平面，那么它必然会与另一个平面存在一个倾斜角。而根据平面垂直定义，不存在倾斜角，因此该直线不可能不垂直于另一个平面。
直观地来说，我们可以想象两块垂直的木板。如果在一块木板上画一条直线，并使它与另一块木板相交，那么这条直线必然垂直于另一块木板。这是因为两块木板的边缘相互垂直，因此所有与边缘相交的直线也必定垂直于另一个平面。
数学上，两平面垂直的充要条件是它们的法向量互相垂直。而法向量是平面中与该平面所有直线垂直的向量。因此，如果两平面垂直，那么一个平面内的直线必然与另一个平面的法向量垂直，也就意味着这条直线垂直于另一个平面。
“两平面相互垂直，则一平面内的直线必然垂直于另一平面”这一性质是平面几何中的基本性质，在建筑、工程和设计等领域有广泛的应用。它使得我们可以通过测量一个平面内的直线与另一个平面的夹角，来判断两平面的相对位置和垂直性。
3、两平面相互垂直,则由属于第一个平面的任意一点
两个平面相互垂直时，平面之间的距离最短，所有点到另一平面的距离相等。
对于属于第一个平面的任意一点 P，它到第二个平面的距离与第一个平面的任意其他点到第二个平面的距离相同。设平面间的距离为 d，则点 P 到第二个平面的距离为 h = d。
因此，点 P 到第二个平面的所有点的连线都垂直于第二个平面。也就是说，点 P 与第二个平面上的任意一点连成的线段垂直于第二个平面。
根据垂直平面的性质，线段 PR 垂直于平面 B，则点 R 也在平面 A 上，线段 PR 是点 P 到平面 B 的距离。
同理，对于第一个平面的任意其他点 Q，它的距离 h' 也等于 d。因此，连接点 Q 和点 P 的线段 PQ 也垂直于平面 B。
对于第一个平面的任意一点 P，可以证明所有与平面 B 相连接的点组成的线段都垂直于平面 B，这表明点 P 到平面 B 的距离最短，证明了两个平面相互垂直。
4、两平面相互垂直时,它们的两面角为什么角
当两平面相互垂直时，它们形成的角称为二面角。二面角的定义如下：
设α和β是两个平面，它们沿直线l相交。如果这两个平面的法线向量分别为nα和nβ，且nα·nβ = 0，则称α和平面β相互垂直，而由α和β所构成的角称为二面角。
证明：
由法线向量的性质，可知nα与nβ垂直。因此，二面角的正弦值为：
sin θ = ||nα × nβ|| / ||nα|| ||nβ||
由于nα·nβ = 0，则nα × nβ = ||nα × nβ|| = ||nα|| ||nβ|| sin 90° = ||nα|| ||nβ||
因此，sin θ = 1，即θ = 90°。
Q.E.D.
当两平面相互垂直时，它们的两面角为直角（90°）。
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