1、正四面体所有棱长相等
正四面体是一种由四个相等的三角形面组成的多面体，其所有棱长都相等。
要证明正四面体的棱长相等，我们可以从其几何结构入手。正四面体是由四个相等的 equilateral 三角形组成的，这意味着每个三角形的三个边都相等。
由于正四面体的四个三角形面都是 equilateral 三角形，因此它们每个三角形的边长都相同，记为 a。由于正四面体是由这些三角形面组成的，因此其棱长也是 a。
为了进一步证明，我们可以考虑正四面体的三个空间对角线。每个空间对角线连接两个对面的顶点，并且彼此相交于四面体质心。由于正四面体的质心是其对称中心，因此三个空间对角线长度都相等，记为 d。
根据正四面体的几何结构，我们可以求出 d 的表达式：
d^2 = 4 (a^2 + (a/2)^2) = 4 (5a^2 / 4) = 5a^2
因此，d = sqrt(5) a
由于正四面体的棱长与空间对角线长度之间存在以下关系：
d^2 = 4 r^2
其中 r 是棱长，可以得到：
r^2 = d^2 / 4 = (5a^2 / 4) / 4 = 5a^2 / 16
得到 r = sqrt(5) a / 4
这表明正四面体的棱长与三角形面的边长成正比，并且所有棱长的长度都相同。因此，正四面体的所有棱长相等。
2、与正四面体所有棱相切的球的半径
正四面体是一个由四个等边三角形构成的三维几何图形。若有一球与正四面体的每条棱都相切，则该球的半径可以求解如下：
设正四面体的边长为a。则球的半径r为正四面体中垂线的高除以2，即：
r = (a √2) / 4
证明：
正四面体的每个面都是一个等边三角形。正四面体中任意两条对边之间的距离为a。根据勾股定理，从球心到正四面体任一面上的垂线高为：
h = √(a^2 - (a / 2)^2) = √(3/4) a
因此，球的半径为：
r = h / 2 = (√(3/4) a) / 2 = (a √2) / 4
举例来说，如果正四面体的边长为10厘米，则与其所有棱相切的球的半径为：
r = (10 cm √2) / 4 ≈ 3.536 cm
3、棱长相等的四面体是正四面体吗
棱长相等的四面体不一定都是正四面体。
正四面体是一种特殊的四面体，其四个面都是相等的正三角形，且六条棱都相等。因此，要判断一个棱长相等的四面体是否是正四面体，还需要进一步检查其面的形状是否都是正三角形。
如果一个棱长相等的四面体具有四个相等的三角形面，则它必定是一个正四面体。这是因为，在三维空间中，三个相等的长度只能构成一个正三角形，而四面体的六条棱中每三条都构成了一个三角形。因此，如果六条棱都相等，那么构成四面体的四个三角形也一定相等，从而可以确定它是一个正四面体。
另一方面，如果一个棱长相等的四面体不具有四个相等的三角形面，则它就不是正四面体。例如，它可能具有三个相等的三角形面和一个不规则三角形面，或者具有四个不同的三角形面。在这种情况下，它只是一个棱长相等的普通四面体，而不是正四面体。
因此，虽然棱长相等的四面体通常与正四面体相关联，但它并不等同于正四面体。只有当一个棱长相等的四面体满足其面为四个相等正三角形的要求时，它才能被视为一个正四面体。
4、棱长为一的正四面体的表面积
正四面体是一种由四个等边三角形组成的三维几何形状。当正四面体的棱长为 1 时，其表面积计算方式如下：
正四面体的表面积由四个三角形的面积组成，因此：
表面积 = 4 × 三角形面积
三角形的面积可以用其底边和高来计算，对于正四面体，底边为棱长 1，高为 √2 / 2（由勾股定理得到）。
因此，单个三角形的面积为：
三角形面积 = (1/2) × 底边 × 高
三角形面积 = (1/2) × 1 × √2 / 2
三角形面积 = √2 / 4
正四面体的表面积为四个三角形面积之和：
表面积 = 4 × √2 / 4
表面积 = √2
因此，棱长为一的正四面体的表面积为 √2。
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