1、平面与圆球面相交
平面与圆球面相交形成的几何图形称为圆。圆的半径等于球的半径，圆心位于球心与平面交点的垂线上。
圆的周长与球的周长之比由圆的半径与球的半径决定，即：
圆周长 / 球周长 = 圆半径 / 球半径
圆的面积与球的表面积之比也由圆的半径与球的半径决定，即：
```
圆面积 / 球表面积 = (圆半径)^2 / (球半径)^2
```
平面与圆球面相交的位置与圆及球的特性密切相关。若平面通过球心，则相交形成的是大圆，其半径等于球的半径。若平面不通过球心，则形成的是小圆，其半径小于球的半径。
圆球面上的圆心点与平面交点的垂线长度即为圆球面内接于平面圆的半径。内接圆与外切圆是位于球内或球外且与平面相切的圆，其半径分别为：
```
内接圆半径 = (球半径 平面到球心距离) / (球半径 + 平面到球心距离)
外切圆半径 = (球半径 平面到球心距离) / (球半径 - 平面到球心距离)
```
平面与圆球面相交的几何关系广泛应用于数学、物理、工程等领域，如计算曲面体积、球面投影、透镜和镜子的成像原理等。
2、平面与圆球面相交其空间截交线是
平面与圆球面相交，它们的截交线是一个圆。
证明：
设圆球面的半径为 R，平面与圆球心的距离为 d（d≤R）。
平面与圆球相交，可以得到一条圆。记圆的半径为 r。
连接圆球心和圆心，记他们的连线长度为 h。
由勾股定理，有：
```
h^2 + r^2 = R^2
h^2 + d^2 = R^2 - r^2
```
因此，
```
h = √(R^2 - d^2)
```
又因为
```
sinθ = r/h
```
所以，
```
r = h·sinθ = √(R^2 - d^2)·sinθ
```
由此可见，圆的半径 r 只与 R 和 d 有关，与 θ 无关。因此，圆的半径是常数，即截交线是一个圆。
3、平面与圆球面相交其截交线是椭圆
平面与圆球面相交，其截交线是一种圆形或椭圆形。当平面垂直于圆球直径时，截交线为一个圆形，当平面与圆球直径不垂直时，截交线为一个椭圆形。
椭圆的形状取决于平面与圆球直径的夹角。当夹角较小时，椭圆较扁，当夹角较大时，椭圆较长。
椭圆的长轴平行于平面与圆球直径的交线，短轴垂直于交线。椭圆的形状还取决于圆球的半径和平面的位置。
理解截交线是椭圆形的原理在许多领域都有应用，例如：
天文学：地球的影子在月球表面上投射出椭圆形，形成月食。
几何图形：椭圆是圆的一个二维投影，因此平面与圆球面的相交可以用来构造椭圆。
工程学：椭圆形截面被用于设计管道和拱桥等结构，以优化强度和刚度。
艺术与设计：椭圆形被广泛用于绘画、雕塑和建筑中，因为它具有美学性和对称性。
平面与圆球面相交其截交线是椭圆的原理是一种重要的几何概念，它在各种学科和领域中都有着广泛的应用。
4、平面与圆球面相交其截交线都是圆
平面与圆球面相交，其截交线是圆的证明：
设平面为α，圆球面为σ，截交线为l。过l上的任意一点P，做与α垂直的直线PQ，交σ于点Q。连接PQ，则PQ垂直于平面α。
由于点P在截交线上，因此点P在平面α和圆球面σ上。因此，点Q也在平面α上。
由于PQ垂直于平面α，因此PQ垂直于α上的任意直线。连接点P和截交线l上的另一点R，则PR在平面α上。
由于PQ和PR都是垂直于平面α的，因此平面PQR垂直于平面α。
由于点Q在圆球面σ上，因此平面PQR也垂直于σ。因此，PQ和PR都是σ上的直径。
由于PQ和PR都是直径，因此|PQ| = |PR|。因此，点P到截交线l上任意点的距离都相等。
因此，截交线l是平面与圆球面相交的圆。
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