两平面方程相减得到什么（两平面方程相减得到什么公式）-侠客易学

1、两平面方程相减得到什么

在解析几何中，两平面方程的相减可以产生一个方程，表示一个新的平面，称为"差平面"。为了理解这个结果，我们先考虑两个平面方程：

平面 1：`Ax + By + Cz + D = 0`

平面 2：`Ex + Fy + Gz + H = 0`

相减这两个方程得到：

`Ax + By + Cz + D - (Ex + Fy + Gz + H) = 0`

整理后得到：

`(A - E)x + (B - F)y + (C - G)z + (D - H) = 0`

这个方程表示了一个新的平面，称为"差平面"，其法向量为`[(A - E), (B - F), (C - G)]`。

差平面的几何意义如下：

差平面是平面 1 和平面 2 的公共法线的法线平面。

差平面包含平面 1 和平面 2 之间的线段，连接两个平面的任意两点。

差平面的位置和方向取决于平面 1 和平面 2 的相对位置和法向量。

两平面方程的相减会产生一个方程，表示差平面。差平面连接平面 1 和平面 2 之间的线段，并具有与两个平面法向量相垂直的独特法向量。

2、两平面方程相减得到什么公式

当两平面方程相减时，得到的公式称为平面法向量的叉积。平面法向量是指与平面垂直的向量。设平面方程为：

平面 1：a?x + b?y + c?z + d? = 0

平面 2：a?x + b?y + c?z + d? = 0

其法向量分别为：

n? = (a?, b?, c?)

两平面方程相减得到：

(a? - a?)x + (b? - b?)y + (c? - c?)z + (d? - d?) = 0

其法向量 n 为 n? 与 n? 的叉积：

n = n? × n? = (a?b? - a?b?, a?c? - a?c?, a?b? - a?b?)

该叉积指明了平面之间的相对方向性。如果 n 为零向量，则平面平行或重合；否则，平面相交。

叉积向量的长度 |n| 等于两平面法向量张成的平行四边形的面积。因此，它可以用来计算平面之间的夹角 θ：

cos θ = |n? · n?| / (|n?| |n?|)

其中，n? · n? 为 n? 与 n? 的点积。

平面法向量的叉积在几何、物理和工程等领域有广泛的应用，例如求解平面之间的夹角、投影和交线方程等。

3、两平面方程相减是直线方程吗

平面方程的一般形式为 Ax + By + Cz + D = 0。若两个平面方程相减，得到 A1x + B1y + C1z + D1 - (A2x + B2y + C2z + D2) = 0，化简后为 (A1 - A2)x + (B1 - B2)y + (C1 - C2)z + (D1 - D2) = 0。

这个方程表示一个直线。要证明这一点，我们需要将直线的方程参数化。给定平面方程 Ax + By + Cz + D = 0 和直线方程 Ax + By + Cz + D1 = 0，令 t 为参数，则直线方程可以写为 x = -Bt/A - Ct/A + D/A, y = t, z = -At/B - Ct/B + D/B。

上述参数方程表明，直线是通过两个点 (-D/A, 0, -D/B) 和 (0, 1, 0) 确定的一条直线。

因此，两个平面方程相减的结果是一个直线方程。