1、与坐标面相切的球
与坐标面相切的球
在三维空间中，球是一个完美的闭合表面，由与给定点（称为球心）等距的所有点的集合定义。当一个球与一个或多个坐标平面相切时，就会产生一些有趣的几何关系。
与一个坐标面相切的球
考虑一个与 x-y 平面相切的球，球心为 (0, 0, h)。球的方程为
x^2 + y^2 + (z - h)^2 = r^2
其中 r 是球的半径。由于球与 x-y 平面相切，因此 h = r，并且方程简化为：
```
x^2 + y^2 + z^2 = r^2
```
这表示一个位于原点的半径为 r 的球。
与两个坐标面相切的球
当一个球与两个坐标面，例如 x-y 平面和 z-y 平面相切时，它形成一个称为圆柱体的几何图形。球的方程为：
```
(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - h)^2 = r^2
```
其中 (a, b, h) 是球心的坐标。由于球与 x-y 平面和 z-y 平面相切，因此 a = b = 0，并且方程简化为：
```
x^2 + y^2 + (z - h)^2 = r^2
```
这意味着球是一个位于 z 轴上的半径为 r 的圆柱体。
与三个坐标面相切的球
当一个球与三个坐标面相切时，它形成一个称为球体的几何图形。球的方程为：
```
(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2
```
其中 (a, b, c) 是球心的坐标。由于球与三个坐标面相切，因此 a = b = c = 0，并且方程简化为：
```
x^2 + y^2 + z^2 = r^2
```
这表示一个位于原点的半径为 r 的球体。
2、求经过坐标原点且与球面相切的平面方程
已知球面的方程为：x2 + y2 + z2 = R2
设求解的平面方程为：Ax + By + Cz + D = 0
由于平面经过坐标原点，因此 D = 0
球面与平面相切，所以平面到球心的距离等于球的半径 R：
(0 + 0 + 0 + 0) / √(A2 + B2 + C2) = R
经整理得：A2 + B2 + C2 = 0
为了找到通解，可以引入参数 t：
A = at
B = bt
C = ct
其中 a、b、c 是任意实数。
代入平面方程得：
atx + bty + ctz = 0
将 a、b、c 相除，消去任意系数：
x/t + y/t + z/t = 0
令 t = 1，得到平面方程的通解：
x + y + z = 0
因此，经过坐标原点且与球面相切的平面方程是：
x + y + z = 0
3、与坐标轴相切的圆的标准方程
与坐标轴相切的圆的标准方程
当圆心在坐标轴上时，圆与该坐标轴相切。在这种情况下，圆的标准方程为：
```
(x - h)2 + (y - k)2 = r2
```
其中：
(h, k) 为圆心的坐标
r 为圆的半径
当圆心在 x 轴上时，方程变为：
```
(x - h)2 + y2 = r2
```
当圆心在 y 轴上时，方程变为：
```
x2 + (y - k)2 = r2
```
特殊情况：
当圆心在原点时，方程变为：
```
x2 + y2 = r2
```
当圆与 x 轴和 y 轴都相切且半径为 r 时，圆的方程为：
```
(x - r)2 + (y - r)2 = r2
```
证明：
假设圆与 x 轴在 (h, 0) 点相切。根据圆的定义，圆上的任意一点与圆心的距离都等于半径。因此，对于圆上的任一点 (x, y)，有：
```
(x - h)2 + (y - 0)2 = r2
```
整理可得：
```
(x - h)2 + y2 = r2
```
对于圆与 y 轴相切的情况，证明类似。
使用示例：
求半径为 5，圆心在 (3, 0) 上的圆的方程：
```
(x - 3)2 + y2 = 52
```
```
x2 - 6x + 9 + y2 = 25
```
```
x2 - 6x + y2 = 16
```
因此，圆的方程为：
```
x2 - 6x + y2 = 16
```
4、与两坐标轴相切的圆的方程
与两坐标轴相切的圆的方程
在解析几何中，与两坐标轴相切的圆具有特定的方程形式。其方程为：
```
(x ± r)2 + (y ± r)2 = r2
```
其中，r 代表圆的半径，正负号决定圆与坐标轴相切的位置。
推导过程：
假设圆与 x 轴和 y 轴分别相切于点 (r, 0) 和 (0, r)。则圆心的坐标为 (0, 0)，半径为 r。
根据圆心与圆上任意一点的距离等于半径，可得：
```
(x - 0)2 + (y - 0)2 = r2
```
即：
```
x2 + y2 = r2
```
若圆与 x 轴相切于负半轴，则方程变为：
```
(x + r)2 + y2 = r2
```
同理，若圆与 y 轴相切于负半轴，则方程变为：
```
x2 + (y + r)2 = r2
```
将这三个方程结合起来，即可得到与两坐标轴相切的圆的方程。
性质：
与 x 轴相切的圆的圆心在 y 轴上。
与 y 轴相切的圆的圆心在 x 轴上。
与两坐标轴同时相切的圆的圆心在原点。
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