1、求底圆半径 🐼 相等的两个直交圆柱面
设两个直交圆柱面的半径为圆柱面 r，相交，于一条直线 🐵 该直线分别为两个圆柱面的轴设直线。在两个圆柱面上的投影为 AB 和 CD，AB 与 CD 垂直。
由于圆柱面半径相等 ☘ ，因此 AB = CD = 2r。
设两个圆柱面沿 AB 轴的 🦈 截面为圆 🐋 形，半径为 R。
由勾 🦋 股定理，有 R^2 = r^2 + (AB/2)^2 = r^2 + r^2 = 2r^2。
因 🐡 此 🦅 ，R = r√2。
设两个圆柱面沿 CD 轴的截 🕷 面 🌷 为圆 🌵 形，半径为 S。
同理 🦊 ，有 🐵 S^2 = r^2 + (CD/2)^2 = r^2 + r^2 = 2r^2。
因 🐅 此 🦢 ，S = r√2。
求底圆半 🍁 径相等的两个直交圆柱面的底圆半 🐺 径为 r，侧圆半 🌷 径为 r√2。
2、求底圆半径相等的两个直交 🦁 圆柱面x2+y2=r2
考虑 🌼 两个直交圆柱面：
圆 🐋 柱 🦁 面 🕊 1： x2 + y2 = r2
圆 🪴 柱 🦟 面 🌷 2： x2 + z2 = r2
这两个圆柱 🐬 面都与 x 轴正交，并且具有 🐯 相同的半径 r。它，们，相交 r。于 🌸 两个圆其圆心在原点半径为
求 🌲 底圆 🌹 半径 🦟 ：
为了求得底圆 🐬 的半径，我们考虑圆柱面 1 与 xy 平面 🕷 相交的圆。这个圆的方程为：
x2 + y2 = r2
z = 0
因此 🐎 ，底 🦟 圆的 🍁 半径为：
r? = r
现在考虑圆柱面 🌲 2 与 yz 平面相交的圆。这个圆的方 🪴 程为：
x = 0
y2 + z2 = r2
因此，底圆的半 🐞 径 🐴 为：
r? = r
因此，两 🪴 个直交圆柱面 x2 + y2 = r2 的，底圆半径相等 🐯 且等于 r。
3、求底圆半径相等的两个直交圆柱面所围立体的表 🌼 面积
设底圆半径为r，两，个圆，柱面的相交线为轴两个底面圆心的连线与轴垂 🕷 直设轴 🌺 长为h。
由于圆柱面相交，则，底面圆心连 🌲 线垂直平分圆柱面轴故圆柱面高为h/2。
两个圆柱面围成的立体包括两个圆 🐵 柱面和两个底面圆 🦁 。
两个圆柱 🌺 面的侧面积分别 🐦 为：πrh/2
两个底面圆 🐬 的 🪴 面积分别为 🐧 ：πr2
因此，立体表面积 🦟 为：
2πrh/2 + 2πr2
= πrh + 2πr2
= πr(h + 2r)
4、求底 🌲 圆半径相等的两个直交圆柱面所围立体的体积 🐟
设两个直交圆柱 🐛 面半 🐅 径为 🍀 $r$，高分别为 $h_1$ 和 $h_2$。
令 🦋 $x$ 轴与 🐒 第一个圆柱面的轴重合轴与第，$y$ 二个圆柱面 🐼 的轴重合，则两个圆柱面方程分别为：
$$x^2+z^2=r^2$$
$$y^2+z^2=r^2$$
两圆柱面所围立 🌷 体由以 🐧 下不等式定义：
$$-h_1\leq x\leq h_1$$
$$-h_2\leq y\leq h_2$$
$$-\sqrt{r^2-x^2}\leq z\leq \sqrt{r^2-x^2}$$
$$-\sqrt{r^2-y^2}\leq z\leq \sqrt{r^2-y^2}$$
因 🦍 此，立 🐘 体体 🐡 积为：
$$\begin{split} V &= 4\int_0^{h_1}\int_0^{\sqrt{r^2-x^2}}\int_{-\sqrt{r^2-x^2}}^{\sqrt{r^2-x^2}} dzdydx \\\ &= 4\int_0^{h_1}\int_0^{\sqrt{r^2-x^2}} 2\sqrt{r^2-x^2} dy dx \\\ &= 4\int_0^{h_1} \left[ 2\sqrt{r^2-x^2} y \right]_0^{\sqrt{r^2-x^2}} dx \\\ &= 4\int_0^{h_1} 2(r^2-x^2) dx \\\ &= 8\left[ r^2x-\frac{x^3}{3} \right]_0^{h_1} \\\ &= \frac{8}{3}(3r^2 h_1-h_1^3) \\\ &=\frac{8}{3}h_1(r^2-h_1^2)\end{split}$$
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