1、判断各平面对投影面的相 🦅 对位置
判断平面与投影面的相 🦉 对位 🍀 置对于理解三维空间中的物体形状至 🦁 关重要。以下介绍三种常用方法：
1. 投 🦉 影线 🦆 法 🍁 :
将平面上的任意一点投影到投影面 🐴 ，观察投影点的位置投影点。在投影面上：该点，与投影面。共面：即平，行。于投影面投影点在投影面之外该点与投影面不共面即与投影面相交或相切
2. 截 💐 距 🌾 法:
计算 🕷 平面与投影面的距离，称为截距截距为平面与投影面平。行截距0：不为平面与投影面。相0：交。或相切
3. 正 🌷 交投 🦈 影法 🌿 :
以投影面为底面作平面正交投影，观察投影体的形状投影体。与投影面平行：原平面。与投影面平行投影体与投影面：相交。原平面与 🐝 投影 🌾 面：相交投影体。与投影面相切原 🌻 平面与投影面相切
需要注意的是，对，于相切的情况需要进一步判断切点处的相对位置。可 🍀 。以通过 🕊 观察相切点周围的区 🕷 域是否共面来确定
掌握判断平面与投影面相对位置的方法对于解决空间几何问题、绘制三维图以及理解真实 🌵 世界中的物体形状具有重要意义。
2、判断平面对投影面的相对位置,并求 🪴 平面上点的k其他投 🦆 影
判断平面与投影面的相对位置，并求 🐵 平面上点的 K 其他投 🐵 影。
判断 🐬 平面与投影 🦁 面的相 🌵 对位置
设平面 α 和 🐬 投影面 π，法矢分别 🌲 为和 🌴 n m。
如果 n · m = 0，则 α 与 🦊 π 平 🐛 行。
如 🐯 果 n · m > 0，则 🌴 α 与 π 异 🐴 面。
如 🐠 果 🐟 n · m < 0，则 🦉 α 与 π 相交。
求 🐠 平 🐟 面上点 🦅 K 的其他投影
已知 🐘 平 🌾 面上 🍁 点 K 投影在投影面上 π 的投影点 K'，现 K 求在投影面上的投影点 π' K。
设 π 和 π' 间的 🦍 夹 🐬 角为 θ，则 🐕 有：
K 在 🌵 直线 KK' 上。
K''K' = K'K tan θ。
具体步骤如下 🐞 ：
1. 求得直 🕸 线 🐛 KK' 的方向 🐕 向量 v = K' - K。
2. 计算 v 与 🌷 π' 的夹 🕊 角 🌺 θ。
3. 在直线 🌷 KK' 上，以 🕷 K' 为，起点向投影 🐦 面 π' 所在的半空间延伸距离 K'K' tan θ，得到点 K''。
示 🦁 例
设平面 α：x + y + z = 0，投影面 π：x - y + z = 0，求平 🐴 面上点 K(1, -1, 1) 在 🦟 投影面上 π'：y + z = 0 的投影点 K''。
1. 求得法矢 n = (1, 1, 1)，m = (1, -1, 1)。由于 n · m = 0，因 🌿 此平 🦅 面 α 与投影面平 π 行。
2. 确定投影面 π' 与 π 之间的夹 🌴 角 θ 为 45°。
3. 求 🐅 得 🌿 直线 KK' 的方 🐝 向向量 v = (0, 0, 2)。
4. 计 🍁 算 🐒 K''K' tan θ = 2 tan 45° = 2。
5. 在直线 🦋 KK' 上，以 K' 为，起 🐱 点向投影面 π' 所在的半空间延伸距离 2，得 🐡 到点 K''(1, -1, 0)。
3、判别下列平面相对投 🦢 影面 🌼 的位置写出平面的名称
平面相对投影面 🍁 的位置
平行 🐞 于 🦆 投影 🌻 面
与投影面 🦋 平行但不相交的平面称为平行的平面。
如水平面投影到垂直面 🐒 的投影形成一个平行于投 🕊 影面的平面。
垂 🍁 直 🌿 于 🕊 投影面
与投影面垂直且相交 🐳 的平面称为垂线的平面。
如水平面投影 🌳 到水平面的投影形成一个垂线的 🕷 平面。
倾 🐯 斜于投影面
与投影面既不平行也不 🐺 垂直的平面称为倾斜的平 🐘 面。
如水平面投影 🐺 到倾斜的 🐟 投影面形成一个倾斜的平面。
命名平面 🦉
根据 🌿 平面与投影面的相 💮 对位置，可以命名平面如下：
平行平面：以平行“于”加上投 🐝 影面的名称命名，例“如平行于水平 🐎 面的平面”。
垂线平面：以垂 🌳 线“于”加上投影面的名称命名，例“如垂线于水平面的平面”。
倾斜平面：以倾斜“于”加上投影面的名称 🐅 命名，例“如 🌵 倾斜于水平面的平面”。
4、判断各平面对 🌼 投影面的相对位置 🐟 ,并写出倾角
判断各平面对投影面 🦄 的相对位置和倾角是一个关键步骤，在制图、几何学 🌺 和工程学中有着广 🐈 泛应用。本，文。将探讨如何确定各平面对投影面的相对位置并计算其倾角
将平面投影到参考面（通常垂直于观察 🐈 者）上投影平面上。的投影。称为投影形迹 🌵 确定投影形迹之间的相对位置，可。以判断平面之间的位置 🐡 关系
平行：如果两个平面 🐳 的投影形 🌿 迹平行，则表示这两个平面平行。
垂直：如果两个平面的投影形迹 ☘ 垂直，则表示这两 🐬 个平面垂直。
相交：如果两个平面 🐯 的投影形迹相交，则表示这两个平面相交交。线。称为交线
倾角 🌼 倾角：是平面与投影面之间的夹角。要计算倾角，可。以利用三角函数
步 🦆 骤 🕸 ：
1. 确 🦋 定 🦢 投影形 🐟 迹。
2. 确定投影形迹之间的相对 🐞 位置。
3. 如果平面平行或垂 💮 直，则无需计算倾角。
4. 如 🐅 果平面相交，则计算交线的垂直距离（d）。
5. 确定交线的水平 🕸 距 🦁 离 🐘 （l）。
6. 使用正 🌿 切函数计算倾角：θ = arctan(d/l)
通过遵循这些步骤，可，以准确地判断各平面对投影面的相对位置并计算其倾角这。在制图、分。析和设计各个领域有 💐 着至关重要的作用
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