1、曲面和球面相切
当一条曲面和一个球面相切时，它们在相切点处具有相同的切平面。这是因为曲面和球面在相切点处的法线向量是相同的。
设曲面为 F(x, y, z) = 0，球面为 G(x, y, z) = 0。则相切点为 F(x0, y0, z0) = 0 且 G(x0, y0, z0) = 0 的解。
在相切点处，曲面的梯度向量 ?F(x0, y0, z0) 与球面的梯度向量 ?G(x0, y0, z0) 平行。这等价于：
?F(x0, y0, z0) = λ ?G(x0, y0, z0)
其中 λ 是一个非零常数。
这表明曲面和球面的法平面在相切点处重合。因此，两条曲线在相切点处具有相同的切平面。
在几何上，曲面和球面相切意味着它们在相切点处具有相同的曲率半径。曲率半径是圆心到圆上一点的距离。对于曲面，曲率半径是由第一基本形式和第二基本形式确定的。对于球面，曲率半径等于球面的半径。因此，当曲面和球面相切时，它们具有相同的曲率半径，这表明它们在相切点处具有相同的弯曲程度。
2、曲面xyz=u与球面相切
3、曲面将球面分成3部分,求
一个曲面将一个球面分成了三个不同的部分。
设曲面与球面的交线为$A$，$B$，$C$。
由于曲面将球面分成了三个部分，因此它必须经过球心的三条直线。设这三条直线为$l_1$，$l_2$，$l_3$。
设球心的坐标为$(0, 0, 0)$，球的半径为$r$。
则点$A$，$B$，$C$的坐标分别为：
$$A = (x, y, z), \quad B = (-x, -y, -z), \quad C = (0, y, -z)$$
其中，$x$，$y$，$z$为非零实数。
由点$A$到球心的距离为：
$$|OA| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = r$$
同理，由点$B$到球心的距离也为$r$，且由点$C$到球心的距离为$r$。
因此，点$A$，$B$，$C$均在球面上。
现在求解直线$l_1$，$l_2$，$l_3$的 уравнение。
设直线$l_1$的 уравнение为：
$$x = at$$
其中，$t$为实数参数。
将该 уравнение代入球面的 уравнение：
$$x^2 + y^2 + z^2 = r^2$$
得到：
$$a^2t^2 + y^2 + z^2 = r^2$$
由点$A$的坐标得：
$$a^2t_1^2 + y_1^2 + z_1^2 = r^2$$
同理，可求得直线$l_2$，$l_3$的 уравнение。
曲面与球面的交线$A$，$B$，$C$的坐标分别为：
$$A = (x, y, z), \quad B = (-x, -y, -z), \quad C = (0, y, -z)$$
直线$l_1$，$l_2$，$l_3$的 уравнение分别为：
$$x = at, \quad y = bt, \quad z = ct$$
其中，$t$为实数参数。
4、球面与曲面的交线怎么求
当球面与曲面相交时，它们的交线通常是空间曲线。求解这种交线一般采用以下步骤：
1. 求出球面的方程和曲面的方程。球面的方程通常为 x^2 + y^2 + z^2 = R^2，其中 R 为球面半径。曲面的方程根据曲面的形状而异。
2. 将球面的方程代入曲面的方程。这会产生一个新的方程，其中仅包含曲面的参数。
3. 求解新方程。这将给出曲面的参数方程，其中参数对应于交线上点的坐标。
4. 消去参数。通过代数运算，可以将参数方程转换为显式方程，其中 x、y 和 z 是交线上的坐标。
求解球面与曲面的交线需要一定的代数和解析几何知识。以下是一些常见曲面和球面交线的示例：
球面与平面：交线为圆。
球面与圆柱面：交线为两个圆。
球面与圆锥面：交线为圆形扇形。
球面与双曲面：交线为两条双曲线。
需要注意的是，在某些情况下，球面与曲面的交线可能为空集（不相交）或一个点（相切）。
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