1、两个平行平面与第三个平面相交
两个平行平面与第三个平面相交时，会发生以下情况：
1. 不交：如果第三个平面与两个平行平面都不平行，则不会相交。
2. 相交于一条直线：如果第三个平面与一个平行平面平行，则会相交于一条直线。这条直线平行于另一个平行平面。
3. 相交于一个点：如果第三个平面与两个平行平面都平行，则会相交于一个点。
以下是一些相关定理：
平行平面与相交平面定理：如果一个平面与两个相交的平面平行，则它与这两个平面相交于两条平行线。
两个平行平面与第三个平面相交定理：如果两个平行平面与第三个平面相交，则它们与第三个平面的交线平行。
这些定理在几何学和工程学中有着广泛的应用，例如：
确定点在平面的位置：通过平行于第三个平面的辅助平面，可以确定给定点在该平面的位置。
求解几何体的体积和表面积：通过确定几何体与各平面的交界线，可以计算出其体积和表面积。
进行工程设计：在建筑、机械和电子等领域，平行平面与其他平面相交的原理用于设计结构、机械部件和电子电路。
2、两个平行平面与第三个平面分别相交则它们的交线不可能
当两个平行平面与第三个平面相交时，它们不可能产生交线。原因如下：
假设有平行平面α和β，以及相交于直线l的第三个平面γ。α和平行于l，穿过l的一点P，而β和平行于l，穿过l的一点Q。
根据平行的定义，α和平行，这意味着不存在直线同时与α和β相交。因此，穿过P且与α平行的直线不可能与穿过Q且与β平行的直线相交。
现在，考虑穿过P且与γ平行的直线m。由于γ与α和β相交，m也与α和β相交。我们已经建立了与α和β相交的直线不可能存在。这导致了一个矛盾。
由此可见，假设两个平行平面与第三个平面相交并产生交线是错误的。这意味着当两个平行平面与第三个平面相交时，它们不可能有交线。
3、两个平行平面与第三个平面相交,所得的交线是( )
当两个平行平面与第三个平面相交时，所得的交线平行于两条平行平面。
证明：
假设两个平行平面分别为平面α和平面β，第三个平面为平面γ。α和β平行，因此其法向量相互平行。设γ的法向量为n。
当γ与α相交时，其交线必定垂直于α的法向量，也即垂直于n。同样地，当γ与β相交时，其交线也垂直于n。因此，两个交线都垂直于n。
由于两个交线共同垂直于n，因此它们必须平行。
因此，当两个平行平面与第三个平面相交时，所得的交线是平行的。
4、两个平行平面与第三个平面相交,所得的二面角
当两个平行平面与第三个平面相交时，相交线分别在平行平面上形成两条平行线。这两个平行线与第三平面的交线形成的平面角称为二面角。
二面角的大小由其两条边线之间的夹角决定。对于任意一点，如果与两条边线的距离分别为a和b，则二面角的余弦值为a/b，记作cosA。
因此，二面角A的大小可以由下列公式计算：
cosA = a/b
其中，a和b分别是该点到两条边线的距离。
二面角的性质有：
平行于同一直线的两条直线所在的平面，与第三个平面相交所成的二面角相等。
由同一直线外两点分别向平面作垂线段，所成的二面角等于两垂线段所夹角的平角。
如果两个平面相交，则与相交线垂直的第三个平面与这两个平面相交所得的二面角相等。
二面角在几何学和工程中有广泛的应用，例如：
计算立体图形的体积和表面积
研究空间几何体的性质
解决工程设计和建筑结构问题
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