平面上三个向量线性相关（三个向量线性相关的几何意义是三个向量共面）-侠客易学

1、平面上三个向量线性相关

在平面上，三个向量 $ \overrightarrow{a} $, $ \overrightarrow{b} $, $ \overrightarrow{c} $ 线性相关是指存在三个实数 $x$, $y$, $z$，使得 $ x\overrightarrow{a} + y\overrightarrow{b} + z\overrightarrow{c} = \overrightarrow{0} $。

可以利用行列式来判断三个向量是否线性相关。构造行列式：

$$ \begin{vmatrix} x_a & y_a & z_a \\ x_b & y_b & z_b \\ x_c & y_c & z_c \end{vmatrix} $$

其中 $ (x_i, y_i) $ 是向量 $ \overrightarrow{a}_i $ 的分量，$i = a, b, c$。

若行列式的值为0，则三个向量线性相关。若行列式的值不为0，则三个向量线性无关。

例如，考虑三个向量 $ \overrightarrow{a} = (1, 2), \overrightarrow{b} = (3, 4), \overrightarrow{c} = (5, 6) $。它们的行列式为：

$$ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 3 & 4 & 6 \\ 5 & 6 & 7 \end{vmatrix} = -2 $$

由于行列式不为0，因此三个向量 $ \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c} $ 线性无关。

线性相关性在许多数学和物理问题中都有应用。例如，它可以用于确定一个系统是否可以被另一个系统所取代，或者确定一个矩阵是否可逆。

2、三个向量线性相关的几何意义是三个向量共面

三个向量线性相关与共面的几何意义

在三维空间中，三个向量可以构成的几何图形有两种情况：共面和非共面。

共面

当三个向量线性相关时，它们的值都可以由其中两个向量线性组合表示，即存在标量 a、b、c，使得：

v = av? + bv? + cv? = 0

其中 v?、v?、v? 是给定的三个向量。这个方程表示 v 与 v?、v?、v? 共线，也就是说，它们位于同一个平面上。因此，三个线性相关的向量共面。

几何意义

三个线性相关的向量共面的几何意义是，它们不构成一个三维空间，而只占据一个平面。这意味着，三个向量无法独立地张开整个三维空间，它们在空间中的运动只能局限在一个平面上。

例如，三个平面上共线的点可以用三个线性相关的向量来表示。这些向量虽然方向和长度不同，但它们都位于同一个平面上，无法超出这个平面。

非共面

当三个向量线性无关时，它们的值不能由其中两个向量线性组合表示，这意味着它们不共线。这种情况下，它们将构成一个三维空间，可以独立地运动，不受任何平面的限制。

因此，三个向量线性相关的几何意义是它们共面，而三个向量线性无关的几何意义是它们非共面。

3、三个向量线性相关的充要条件是三向量共面

三个向量线性相关的充要条件是三向量共面

在向量空间中，三向量 $ {\bf a}, {\bf b}, {\bf c} $ 线性相关是指存在不全为零的实数 $ \alpha, \beta, \gamma $ 使得 $\alpha {\bf a} + \beta {\bf b} + \gamma {\bf c} = {\bf 0}$。

充要条件：三个向量线性相关的充要条件是三向量共面。

证明：

必要性：假设 $ {\bf a}, {\bf b}, {\bf c} $ 共面，则存在实数 $ r, s $ 使得 ${\bf b} = r {\bf a}$ 和 ${\bf c} = s {\bf a}$。代入可得：

$$\alpha {\bf a} + \beta r {\bf a} + \gamma s {\bf a} = {\bf 0} \Rightarrow (\alpha + \beta r + \gamma s) {\bf a} = {\bf 0}$$

因为 ${\bf a} \neq {\bf 0}$，所以 $\alpha + \beta r + \gamma s = 0$。因此，存在不全为零的实数 $\alpha = -(\beta r + \gamma s), \beta, \gamma$，使得 $\alpha {\bf a} + \beta {\bf b} + \gamma {\bf c} = {\bf 0}$。

充分性：假设 $ {\bf a}, {\bf b}, {\bf c} $ 线性相关，则存在不全为零的实数 $\alpha, \beta, \gamma $ 使得 $\alpha {\bf a} + \beta {\bf b} + \gamma {\bf c} = {\bf 0}$。

令 ${\bf a} = (a_1, a_2, a_3), {\bf b} = (b_1, b_2, b_3), {\bf c} = (c_1, c_2, c_3)$。将 $\alpha {\bf a} + \beta {\bf b} + \gamma {\bf c} = {\bf 0}$ 展开可得：

$$\left(\begin{array}{ccc} \alpha a_1+\beta b_1+\gamma c_1 \\\ \alpha a_2+\beta b_2+\gamma c_2 \\\ \alpha a_3+\beta b_3+\gamma c_3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ 0 \end{array}\right)$$

这个方程组的增广矩阵为：

$$\left[\begin{array}{ccc|c} a_1 & b_1 & c_1 & 0 \\\ a_2 & b_2 & c_2 & 0 \\\ a_3 & b_3 & c_3 & 0 \end{array}\right]$$

经过初等行变换后，增广矩阵化为：

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & -\frac{\beta b_2+\gamma c_2}{\alpha a_2} \\\ 0 & 1 & 0 & -\frac{\beta b_3+\gamma c_3}{\alpha a_3} \\\ 0 & 0 & 1 & -\frac{\beta b_1+\gamma c_1}{\alpha a_1} \end{array}\right]$$

所以，${\bf b} = -\frac{\beta b_2+\gamma c_2}{\alpha a_2} {\bf a}, {\bf c} = -\frac{\beta b_3+\gamma c_3}{\alpha a_3} {\bf a}$。因此，$ {\bf a}, {\bf b}, {\bf c} $ 共面。

证毕。