1、两平面相切他们的法向量
当两个平面相互接触时，它们相交于一条直线，称为相切线。在这个相切点，两个平面的法向量彼此正交（垂直）。
法向量是一个向量，代表平面所在空间的垂直方向。它可以由平面上的任意两个不平行的向量求得。当两个平面相切时，它们的相切线与两个平面垂直，因此它们的两个法向量都与相切线平行。
由于法向量彼此垂直，因此它们之间的夹角为 90 度。这使得平面相切的条件成为：
两个平面的法向量彼此正交。
这种正交性对于许多三维几何应用非常重要。例如，在计算机图形学中，它用于检测碰撞并计算物体之间的距离。在工程学中，它用于确定结构的稳定性和强度。
以下是一些平面相切的实际例子：
两个相交的圆盘的相切平面
一个圆柱和平面的相切平面
一个锥和平面的相切平面
在这些情况下，平面之间的法向量正交，这表明它们彼此相切。
2、两平面相切等于两平面垂直吗?
两平面相切并不等价于两平面垂直。
相切指的是两平面的交线是一条直线，当且仅当两平面有一个公共法向量时，它们相切。此时，两平面不一定是垂直的。
垂直指的是两平面的法向量相互垂直。当且仅当两平面的交线是一条直线，且两平面的法向量相互正交时，两平面垂直。
因此，相切的两平面不一定是垂直的。例如，如果两平行平面有一个公共法向量，但它们的法向量不相互正交，那么它们相切但并不垂直。
反之，垂直的两平面也不一定是相切的。例如，如果两个垂直平面不相交，那么它们虽然垂直但并不相切。
两平面相切不等于两平面垂直。相切只表示两平面有一个公共法向量，而垂直表示两平面的法向量相互正交。
3、两平面相切法向量什么关系
两平面相切法向量关系
若两平面相切，则它们的对应法向量必互相垂直。这是因为：
设有相切的两平面，法向量分别为 n1 和 n2。若 n1 不垂直于 n2，则必定存在一个非零向量 v，满足 v · n1 = v · n2 = 0。
这表明 v 向量既与 n1 垂直，又与 n2 垂直，这与两平面相切的定义矛盾，因为相切平面没有公共的法线。
因此，n1 必须垂直于 n2，即 n1 · n2 = 0。
相反，若 n1 · n2 = 0，则 n1 和 n2 垂直。假设两平面不相切，那么它们会相交于一条直线，而 n1 和 n2 将是这条直线上的法向量。这意味着 n1 和 n2 不垂直，与假设矛盾。
因此，两平面相切的充要条件是它们的对应法向量互相垂直。
4、平面切向量和法向量的关系
平面切向量和法向量的关系
在一个向量空间中，给定一个平面，存在两种特殊的向量与该平面相关：平面切向量和平面法向量。
平面切向量和法向量是正交的，即它们的内积为零。平面切向量表示平面的方向，而平面法向量表示平面的法线，即垂直于平面的方向。
设平面方程为 Ax + By + Cz + D = 0，其中 A、B、C、D 为常数。则该平面的法向量为 n = (A, B, C)。
对于平面上的任意一点 P(x0, y0, z0)，该点处的切向量 t 可以通过与平面法向量 n 正交的两个单位向量表示：
t = s1(a, b, c) + s2(a', b', c')
其中 (a, b, c) 和 (a', b', c') 是与 n 正交的单位向量，s1 和 s2 是标量。
由正交性可得：
n · t = s1(Aa + Bb + Cc) + s2(A'a + B'b + C'c) = 0
由于 n 为非零向量，因此 s1(Aa + Bb + Cc) = 0 和 s2(Aa' + Bb' + Cc') = 0。
因此，切向量 t 的分量可以表示为：
t = (By - Cz, Cz - Ax, Ax - By)
平面切向量和法向量之间的关系是：
1. 正交性：切向量和法向量正交。
2. 唯一性：对于给定的平面，存在唯一的一个法向量。
3. 方向性：切向量表示平面的方向，而法向量表示平面的垂直方向。
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