1、向量求直线与平面相交的点
向量求直线与平面相交点
设直线 L 的参数方程为：
x = x0 + at
y = y0 + bt
z = z0 + ct
平面 Π 的方程为：
```
Ax + By + Cz + D = 0
```
其中 (x0, y0, z0) 是直线 L 上一点，(a, b, c) 是直线 L 的方向向量，(A, B, C) 是平面 Π 的法向量。
求直线 L 与平面 Π 的交点步骤如下：
1. 代入参数方程：将直线 L 的参数方程代入平面 Π 的方程，得到：
```
A(x0 + at) + B(y0 + bt) + C(z0 + ct) + D = 0
```
2. 解参数 t：将上式整理成 t 的一元一次方程，解得：
```
t = (D - Ax0 - By0 - Cz0) / (Aa + Bb + Cc)
```
3. 得到交点坐标：将得到的 t 值代回直线 L 的参数方程，得到直线 L 与平面 Π 的交点坐标：
```
(x, y, z) = (x0 + at, y0 + bt, z0 + ct)
```
注：
当 Aa + Bb + Cc = 0 时，直线 L 平行于平面 Π，没有交点。
当 D - Ax0 - By0 - Cz0 = 0 时，直线 L 位于平面 Π 上。
2、向量求直线与平面相交的点怎么求
当需要求解向量与直线或平面的交点时，我们可以使用以下方法：
向量与直线相交
已知直线方程为：
```
L: x = x0 + td
```
其中 (x0, y0) 为直线上一点，d 为方向向量。
已知向量为：
```
v = (vx, vy)
```
则向量与直线相交的点 (x1, y1) 为：
```
(x1, y1) = (x0, y0) + t (vx, vy)
```
其中 t 为参数。
向量与平面相交
已知平面方程为：
```
ax + by + cz + d = 0
```
已知向量为：
```
v = (vx, vy, vz)
```
则向量与平面相交的点 (x1, y1, z1) 为：
```
(x1, y1, z1) = (x0, y0, z0) + t (vx, vy, vz)
```
其中 (x0, y0, z0) 为平面上一点，t 为参数。
要找到交点，需要求解参数 t。可以通过代入向量方程到直线或平面方程中，得到一个关于 t 的方程。解出 t，再代回向量方程，即可得到交点坐标。
3、直线向量与平面向量平行的判定
直线向量与平面向量的平行判定
给定直线向量 a = (a1, a2, a3) 和平面向量 n = (n1, n2, n3)，判断 a 是否平行于 n，可以通过以下方法：
定理： 直线向量 a 平行于平面向量 n 当且仅当 a · n = 0。
证明：
充分性：
如果 a · n = 0，则对于任意实数 t，有 |a + tn|2 = |a|2 + |tn|2 = |a|2 ≥ |a|2。因此，a + tn 的长度始终等于 |a|，故 a + tn 垂直于 n，即 a 平行于 n。
必要性：
如果 a 平行于 n，则对于任意实数 t，有 a + tn 平行于 n。因此，a · (a + tn) = 0，展开得 |a|2 + t(a · n) = 0。因为 t 任意，所以 a · n = 0。
应用：
该判定可以用于解决许多几何问题，例如：
判断直线是否与平面平行
求直线与平面的夹角
求直线与平面的交点
判断空间中的两条直线是否平行
通过判断直线向量与平面向量的点积是否为 0，可以判定两者的平行关系。该定理在几何学和线性代数中都有广泛的应用。
4、如何用向量求直线到平面的距离
求直线到平面的距离
步骤：
1. 确定直线方程和平面方程：
- 直线方程： x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct
- 平面方程： Ax + By + Cz + D = 0
2. 求解直线与平面的交点：
- 将直线方程代入平面方程，得到一个关于 t 的方程 t0。
- 代入 t0，计算交点坐标 (x0, y0, z0)。
3. 计算交点到平面的距离：
- 将交点坐标代入平面方程，得到距离 d 的绝对值：
d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A2 + B2 + C2)
4. 判断距离的符号：
- d > 0：直线在平面之外
- d < 0：直线在平面之内
注意事项：
如果直线与平面平行或重合，则距离为 0。
如果直线与平面相交但不垂直于平面，则交点不在直线参数方程给定的线上。
示例：
求直线 x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t 到平面 2x + y - 3z - 5 = 0 的距离。
交点：
t0 = -1/5，(x0, y0, z0) = (6/5, 11/5, 1)
距离：
d = |2(6/5) + 11/5 - 3(1) - 5| / √(22 + 12 + (-3)2) = 2/5
因此，直线到平面的距离为 2/5，且直线在平面之外。
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