1、三个圆两两相交于圆心求阴影面积
在几何学中，当三个圆相交于两两圆心时，必然形成三个相同的扇形和两个交角为 120° 的全等三角形。我们可以利用三角形和扇形的面积公式来求出重叠区域的面积，即阴影面积。
我们求出每一个三角形的面积。设圆心到每条切线的长为 r，则三角形的高为 r，底为 r 的正弦值，即 sin60° = √3/2。因此，每个三角形的面积为：
三角形面积 = (1/2) 底 高 = (1/2) r √3/2 = r√3/4
我们求出每个扇形的面积。设圆的半径为 R，则每个扇形的半径为 R，圆心角为 120°。因此，每个扇形的面积为：
```
扇形面积 = (1/6) π R2 = πR2/6
```
由于三个扇形和两个三角形重叠，我们可以通过减去重叠的面积来求出阴影面积。每个三角形与两个扇形重叠，重叠的扇形面积为 πR2/12。因此，每个三角形与扇形的重叠面积为：
```
重叠面积 = 2 (πR2/12) = πR2/6
```
阴影面积是三个三角形与扇形重叠部分的面积之和，即：
```
阴影面积 = 3 (三角形与扇形重叠面积) = 3 πR2/6 = πR2/2
```
因此，当三个圆相交于两两圆心时，阴影面积为 πR2/2。
2、下图中三个圆两两相交成七个部分,分别填上3到9
在一个平面上有三条相交的圆，它们相互重叠形成七个相交的部分。根据圆的面积与重叠部分的面积之比，我们可以将这七个部分分别填充上3到9这七个数。
最外侧的圆圈是最大的，没有与其他圆圈重叠，因此填充上9。
中间的圆圈与最外侧和最内侧的圆圈重叠，形成三个重叠部分。与最外侧圆圈重叠的部分占外圈面积的2/3，填充上6；与最内侧圆圈重叠的部分占内圈面积的1/2，填充上5；中间没有重叠的部分占中圈面积的1/6，填充上3。
最内侧的圆圈与中间圆圈重叠形成两个重叠部分。与中间圆圈重叠的部分占内圈面积的1/3，填充上4；与最外侧圆圈重叠的部分占内圈面积的1/6，填充上7。
七个相交部分分别可以填入以下数字：3、4、5、6、7、8、9。
3、三个圆两两相交于圆心,求阴影部分的总面积
在平面上，有三个圆，两两相交于圆心，每个圆的半径均为 r。我们希望求出这三个圆阴影部分（即两两圆交叠区域）的总面积。
我们利用解析几何来描述三个圆的位置。设圆心为 O，三个圆的圆心坐标分别为 O(x1, y1)，O(x2, y2) 和 O(x3, y3)。则三个圆的方程分别为：
(x - x1)2 + (y - y1)2 = r2
(x - x2)2 + (y - y2)2 = r2
(x - x3)2 + (y - y3)2 = r2
由于三个圆两两相交于圆心，所以 O(x1, y1)、O(x2, y2) 和 O(x3, y3) 三点共线。因此，我们可以将三个圆心连线表示为一条直线，该直线方程为：
y = kx + b
其中，k 为斜率，b 为 y 轴截距。
接下来，我们求出三个圆的交点坐标。利用两圆相交的判别式，我们可以求出三个圆的交点坐标。由于计算过程较为复杂，这里省略。
我们计算阴影部分的面积。由于三个圆阴影部分由三个扇形组成，因此我们可以利用扇形面积公式来计算：
扇形面积 = (圆心角 / 360) πr2
其中，圆心角为两个相交圆的夹角。通过计算三个圆心角，我们可以求得阴影部分的总面积：
阴影部分面积 = (扇形面积1 + 扇形面积2 + 扇形面积3)
通过上述步骤，我们可以求出三个圆两两相交于圆心时，阴影部分的总面积。
4、三个圆两两相交于圆心求阴影面积的公式
三个圆两两相交于圆心求阴影面积的公式
设三个圆的半径分别为r1、r2、r3，它们两两相交于圆心，形成六个扇形区域。
阴影面积公式：
```
S = (2π/3) (r1^2 r2^2 r3^2) / ((r1 + r2 + r3)^2 - (r1 - r2 - r3)^2)
```
公式解释：
分子表示三个圆两两相交形成的六个扇形区域的面积和。
分母中的平方项表示六个扇形区域的外接正方形面积的和与内接正方形面积的和的平方差。
推导过程：
根据扇形面积公式，六个扇形区域的面积和为：
```
S1 = (1/2) π (r1^2 + r2^2 + r3^2)
```
根据正方形面积公式，外接正方形面积的和为：
```
S2 = (r1 + r2 + r3)^2
```
内接正方形面积的和为：
```
S3 = (r1 - r2 - r3)^2
```
阴影面积等于扇形区域面积和减去外接正方形面积和与内接正方形面积和的平方差：
```
S = S1 - (S2 - S3)
```
将公式代入可得阴影面积公式。
示例：
如果三个圆的半径分别为r1=3、r2=4、r3=5，则阴影面积为：
```
S = (2π/3) (3^2 4^2 5^2) / ((3 + 4 + 5)^2 - (3 - 4 - 5)^2) ≈ 11.28
```
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