1、平面内两个向量相乘
2、平面内两向量相乘等于法向量证明
平面内两向量相乘等于法向量证明
在平面直角坐标系中，设两向量为：
v = (x?, y?)
w = (x?, y?)
它们的叉乘定义为：
```
v × w = x?y? - x?y?
```
根据向量叉乘的几何意义，它表示两向量所构成的平行四边形的面积。
现在，假设平面内两条直线L?和L?分别由向量v和w表示：
```
L?: x = x? + at?, y = y? + bt?
L?: x = x? + at?, y = y? + bt?
```
其中，t?和t?表示参数。
若直线L?和L?相交，则有：
```
x? + at? = x? + at?
y? + bt? = y? + bt?
```
消去参数t?和t?，得到：
```
(x? - x?)t? = (x? - x?)t?
(y? - y?)t? = (y? - y?)t?
```
因此，t?和t?要么同时为0，要么同时不为0。
若t?和t?同时为0，则L?和L?重合；若t?和t?同时不为0，则L?和L?相交。
当L?和L?相交时，向量v和w的法向量为：
```
n = v × w = (x?y? - x?y?, x?y? - x?y?)
```
容易验证，向量n与向量v、w所在的平面垂直，即n是法向量。
因此，平面内两向量v和w的叉乘等于法向量。
3、平面内两个向量相乘得到法向量
4、平面内两向量相乘等于法向量
在平面内，两个向量相乘可以得到一个法向量。
法向量是指与两个向量垂直的单位向量。它可以帮助我们计算两个向量之间的夹角和距离。
如果两个向量分别为 $\mathbf{a} = (a_1, a_2)$ 和 $\mathbf{b} = (b_1, b_2)$, 那么它们的叉积为：
$$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}$$
其中 $\mathbf{k}$ 是垂直于平面的单位向量。
可以看出，叉积是一个只有 $z$ 分量的向量，且其大小等于两个向量的面积。因此，当 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 共线时，它们的叉积为零。当 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 垂直时，它们的叉积最大，且等于两个向量的面积。
法向量可以应用于许多几何问题中，例如：
求两个向量之间的夹角：
$$\cos\theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\left\Vert \mathbf{a} \right\Vert \left\Vert \mathbf{b} \right\Vert}$$
其中 $\cdot$ 表示点积。
求两个向量的距离：
$$d = \frac{\left\Vert \mathbf{a} \times \mathbf{b} \right\Vert}{\left\Vert \mathbf{b} \right\Vert}$$
因此，平面内两个向量相乘得到的叉积为法向量，它提供了这两个向量之间的重要几何信息。
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