1、证明周长相等正方形面积最大
正方形是一种周长相等的规则四边形，而同周长正方形的面积最大，这一有着简单的几何证明：
对于给定的周长 P，正方形的边长为 P/4。
正方形的面积为边长的平方，即 A = (P/4)2。
对于其他周长相等的四边形，它们的边长和不等于 P/4，因此面积也就不等于 (P/4)2。
为了说明这一点，考虑一个周长为 P 的矩形，其长宽之和为 P/2。假设长边为 x，宽边为 y，则有：
x + y = P/2
x - y ≠ 0
矩形的面积为 x y，代入第一个方程，可得：
A = (P/2 - y) y
= (P/2)y - y2
为了找到矩形的最大面积，对其面积关于 y 求导：
dA/dy = (P/2) - 2y
= 0 when y = P/4
这表明当矩形的长宽相等时，即成为正方形时，矩形的面积最大。
因此，当周长相等时，正方形的面积最大。这是由于正方形的形状均匀，没有凸出或凹陷的部分，导致面积最大化。
2、证明周长相等的长方形和正方形谁的面积大
长方形和正方形都是常见的平面几何图形，它们具有不同的形状和面积计算公式。为了证明周长相等的长方形和正方形谁的面积大，我们需要进行以下计算和比较：
周长公式：
长方形：P = 2(长 + 宽)
正方形：P = 4a（其中a为边长）
面积公式：
长方形：A = 长 × 宽
正方形：A = a2
计算并比较：
假设长方形和正方形具有相同的周长P，那么我们可以得到以下方程组：
2(长 + 宽) = 4a
4a = P
整理方程组，得到：
长 + 宽 = 2a
a = P/4
将a的值代入长方形的面积公式中，得到：
A = 长 × 宽 = (2a - 宽) × 宽 = 2a2 - 宽2
将a的值代入正方形的面积公式中，得到：
A = a2 = (P/4)2 = P2/16
比较面积：
P2/16 - 2a2 = P2/16 - 2(P/4)2 = P2/16 - P2/8 = 0
因此，当周长相等时，长方形和正方形的面积相等。
3、证明在周长相等的矩形中正方形的面积最大
周长相等矩形的面积之最
在周长相等的矩形中，哪一个矩形的面积最大？答案很简单：正方形。
证明如下：设周长为2P，正方形的边长为x，则非正方形矩形的长和宽分别为x + y和x - y。根据周长公式，有：
2P = 2(x + y) + 2(x - y)
? P = 2x
求出矩形的面积：
```
正方形：S = x^2
非正方形：S = (x + y)(x - y) = x^2 - y^2
```
从上式可看出，当y = 0时，即正方形时，S最大。也就是说，在周长相等的矩形中，正方形的面积最大。
几何上，我们可以这样理解：正方形的四个边长相等，因此其面积比任何其他矩形更大。这是因为，在周长相等的条件下，非正方形的矩形必然有一边长大于另一边，这会导致面积的减少。只有当矩形成为正方形时，面积才能达到最大。
因此，我们可以得出在周长相等的矩形中，正方形的面积最大。这个在工程学、建筑学等领域有着广泛的应用，在设计和制造中，正方形的形状往往是最优选择。
4、证明周长相同的矩形中以正方形的面积最大
周长相同的矩形中，以正方形的面积最大。
证明：设周长为 2P，则矩形的长和宽为 x 和 y。根据周长公式，有：
```
2(x + y) = 2P
```
整理得：
```
x + y = P
```
矩形的面积为：
```
A = xy
```
将 x + y 代入面积公式，得：
```
A = (P - x)x = P x - x^2
```
对面积 A 关于 x 求导，得：
```
dA/dx = P - 2x
```
令 dA/dx = 0，求极值点：
```
P - 2x = 0
```
```
x = P/2
```
将 x = P/2 代回 x + y = P，得：
```
y = P/2
```
因此，当矩形是正方形时，即 x = y = P/2，面积最大。
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