1、三角形重心分成三部分面积相同
三角形的重心是一个非常重要的点，它将三角形分成三个面积相等的三角形。这个性质在许多几何问题中都有应用。
为了证明这个性质，我们可以使用重心定义和三角形面积公式。三角形的重心定义为三角形三个顶点连线的交点。三角形面积公式为底乘高除以二。
我们首先证明重心将三角形分成三个面积相等的三角形。设三角形的三个顶点为A、B、C，重心为G。那么，∠BAG=∠CAG=∠CBG=120°。这三个三角形∠ABC、∠ABG、∠ACG的面积分别为S、S1、S2。
根据三角形面积公式，S=AB×h/2，S1=AG×h1/2，S2=AC×h2/2。其中，h、h1、h2分别是三角形∠ABC、∠ABG、∠ACG的高。
由题可知，S=S1=S2。又因为∠BAG=∠CAG=∠CBG=120°，所以AG=BG=CG。因此，h1=h2=h/3。
代入三角形面积公式，得到：S=AB×h/2=AG×h1/2=AC×h2/2=AB×h/6=AC×h/6=BC×h/6。
即S=S1=S2，重心将三角形分成三个面积相等的三角形。
2、为什么重心把三角形分为三个面积相等的三角形
三角形重心是三角形三个顶点连线的中点构成的交点。当三角形重心被连接到三角形的三个顶点时，它将三角形分成了三个面积相等的三角形。
要证明这一，我们可以考虑重心连接到三角形的任意一个顶点所形成的三角形，记为△ABD。重心G是三角形ABC的重心，根据重心的性质，我们有：
AD:DB = 2:1
BG:GC = 2:1
因此，△ABD中，∠AGB = ∠BGC，它们是底角相等的三角形。同理，△ACG和△BCG也是底角相等的三角形。
由于重心G到三个顶点的距离相等，因此△ABD、△ACG和△BCG底边上的高相等。因此，这三个三角形的面积相等。
当三角形重心被连接到三角形的三个顶点时，它将三角形分成了三个面积相等的三角形。
3、重心将三角形分成三个面积相等的三角形证明
设三角形ABC的重心为G。连接AG、BG、CG。
证明：
一步：證明△AGB = △BGC = △CGA。
因G為三角形ABC的重心，所以AG = 2GM，BG = 2GN，CG = 2GP。
又因△ABC的內角和為180°，∠AGB = ∠BGC = ∠CGA = 60°。
因此，△AGB ≌ △BGC ≌ △CGA（SAS）。
二步：證明△AGB的面积等于△BGC、△CGA的面积。
设△ABC的面积为S。
则△AGB、△BGC、△CGA的面积分别为S/3、S/3、S/3。
因此，
△AGB 的面积 = △BGC 的面积 = △CGA 的面积 = S/3。
证毕。
4、重心分三角形3个面积比为啥是1:1:1
三角形的重心是其三个顶点与对应边中点的连线交汇点。重心将三角形分成三个小三角形。
设原三角形的边长分别为a、b、c，对应中点为D、E、F，重心为G。
根据中点分割线定理，GD=a/2，GE=b/2，GF=c/2。
利用相似三角形性质，可以得到△GDE与△ABC相似，△GEF与△ABC相似，△GFD与△ABC相似。
因此，△GDE：△GEF：△GFD = GE/BC：GF/AC：GD/AB。
代入中点坐标，得到：△GDE：△GEF：△GFD = b/2c：c/2a：a/2b。
通过简化，得到：△GDE：△GEF：△GFD = 1：1：1。
由此可见，三角形的重心将三角形分成三个面积相等的三角形，即三个小三角形的面积比为1:1:1。
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