1、三 🕷 角形重心面积相等 🐕 的证明

设三角形 🐈 ABC的 🐘 重心 🕸 为G，连接GA、GB、GC。

根据重心的定义 🌵 ，有：

GA = 2GB

GB = 2GC

GC = 2GA

因 🌼 此，有 🐬 ：

GA + GB + GC = 2(GA + GB + GC)

即 🌷 ：

3(GA + GB + GC) = 0

两边除以 🌷 3，得：

GA + GB + GC = 0

即 🦍 ：

GA = -GB = -GC

又因为 🌸 GA = 2GB，所 🕷 以 🦈 ：

GA = 1/3 GB

同 🐳 理 🌳 ，GB = 1/3 GC，GC = 1/3 GA。

因 🌷 此 🌿 ，有 🦆 ：

GA:GB:GC = 1:1:1

由于三角形ABC的面 🕸 积为S，所以：

三 🦆 角形ABG的面积 = S/3

三角形 🐳 BGC的 🦟 面积 🐠 = S/3

三角 🐴 形CGA的面积 = S/3

三角形ABC的ABC重心三角形面积等于三角 🐴 形面积的1/3。

2、三角形重心面积 🦁 相等的证明,用向量 🦟

三角形 🐧 重心 🦊 面积相等的 🐠 证明（向量法）

定 🐳 理 🍁 ：

在任 🐶 意三角形中 🌺 ，重心到三条边的距离之和等于三角形的周 🌻 长。

证 🐺 明 🐝 ：

设三 🦢 角形ABC的三个顶点 🐯 坐标分别为 🌻 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$、$\boldsymbol{c}$。重心的坐标为G：

$$\boldsymbol{g} = \frac{1}{3} (\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c})$$

考虑重心G到边 🐳 BC的距离 🐒 ，根，据向量公式有：

$$\Vert \boldsymbol{g} - \boldsymbol{b} \Vert = \Vert \frac{1}{3} (\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}) - \boldsymbol{b} \Vert$$

$$= \Vert \frac{1}{3} (\boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}) \Vert$$

$$= \frac{1}{3} \Vert \boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c} \Vert$$

类似地，可以得到 🦋 重心到G和AC的AB距离 🌻 分别为：

$$\Vert \boldsymbol{g} - \boldsymbol{a} \Vert = \frac{1}{3} \Vert \boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{c} + \boldsymbol{b} \Vert$$

$$\Vert \boldsymbol{g} - \boldsymbol{c} \Vert = \frac{1}{3} \Vert \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} - 2\boldsymbol{c} \Vert$$

将上述三 🦟 式相加，得到重心到三G条 🦋 边的距离之和 🐵 ：

$$\Vert \boldsymbol{g} - \boldsymbol{b} \Vert + \Vert \boldsymbol{g} - \boldsymbol{a} \Vert + \Vert \boldsymbol{g} - \boldsymbol{c} \Vert$$

$$= \frac{1}{3} \left(\Vert \boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c} \Vert + \Vert \boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{c} + \boldsymbol{b} \Vert + \Vert \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} - 2\boldsymbol{c} \Vert\right)$$

观察这三项，可以发现它们分别 🐺 是三 🐳 角形ABC的三条边 💮 的长度。因，此有：

$$\Vert \boldsymbol{g} - \boldsymbol{b} \Vert + \Vert \boldsymbol{g} - \boldsymbol{a} \Vert + \Vert \boldsymbol{g} - \boldsymbol{c} \Vert = \frac{1}{3} (AB + BC + CA)$$

$$= \frac{1}{3} \cdot \text{三角形ABC的 🌴 周 🦁 长 🐼 }$$

证 🐘 毕 🌷 。

3、如何证明 🪴 重心组成的三角形面积相等

如何证明重 🐧 心组成的三角 🌿 形面积相 🐘 等

设ΔABC的重 🌾 心 🕊 为G。连接GA、GB、GC。

证明 🌷 ：

步骤1：证明ΔAGB的面 🕸 积等 🐳 于的 🐕 面积ΔAGC。

由于G是ΔABC的重心，所 🐬 以AG:GB=2:1。

因此，∠AGB=∠AGC（对 💮 顶 🌲 角相等），AB=2BG（同角对应边成比例）。

根据三角形 🌸 面积 🌷 公式，ΔAGB的面积为 🐼 ：

S_AGB = (1/2) × AB × BG = (1/2) × 2BG × BG = (1/2) × BG2

同 🐡 理，ΔAGC的 🐡 面积为：

```

S_AGC = (1/2) × AC × CG = (1/2) × 2CG × CG = (1/2) × CG2

```

由于BG=CG（重 🐡 G心到各顶点 🌴 的距离相等），所以S_AGB=S_AGC。

步骤2：证明 🦉 ΔBGC的 🌾 面积等于的 🍁 面积ΔCGA。

同上理，可证 🦈 得 🐟 ∠BGC=∠CGA，BC=2CG。

因 🐺 此，ΔBGC的面积为：

```

S_BGC = (1/2) × BC × CG = (1/2) × 2CG × CG = (1/2) × CG2

```

同 🪴 理，ΔCGA的 🌻 面积为：

```

S_CGA = (1/2) × CA × AG = (1/2) × 2AG × AG = (1/2) × AG2

```

由于CG=AG（重 🦉 G心到各顶点 🦋 的距离 🐡 相等），所以S_BGC=S_CGA。

ΔAGB的面积等于的面积的面积等于的面积ΔAGC因，ΔBGC此 🌹 ΔCGA重。心，组成的三角形的面积ΔAGB、ΔAGC、ΔBGC、ΔCGA相等。

4、三角形重心 🐱 面积相等的证 🐒 明视频

三角形重心面积相等的证 🌴 明

在这个视频中，我们将证明 🐛 三角形的重心到三个顶点的距离相等。

定 🐧 义 🦆 ：

- 重心：三角形三 🕷 个中线交点。

证明 🐛 ：

假设三 🐕 角形ABC的重心为G。

步 🦟 骤 🐧 1：

连 🐋 接 🦋 G到 🦅 A、B、C。

步 🐛 骤 🐬 2：

由中线定理 🌼 ，AG=GB=GC=AB/2。

步 🐟 骤 🐝 3：

连接 🌹 G到 🪴 BC中 🐺 点M。

步 🌷 骤4：

由 💮 平行线定理，GM//AB。

步 🐶 骤 🪴 5：

因 💐 此 🐠 ，△AGB和 🐅 △GMC相似。

步 ☘ 骤 🐝 6：

由于GM=AB/2，因 🌲 此 🌹 △AGB和△GMC的面积相 🐛 等。

步 🦟 骤 🐴 7：

同理，可证 🐎 明△BGC和△GMC的面积相等 🐎 。

步 🌻 骤8：

因此 🌸 ，△AGB、△BGC和△GMC的面积 🦍 相 🐬 等。

由于 🐎 △AGB、△BGC和△GMC的面积相等，因G此到的A、B、C距离 🦢 相等。

附 🐝 录 🐅 ：

进一步 🐠 的证明可以利用解析几何中 🐠 的面积公式。