1、已知两个平面 🐝 求相交直线
求 🕸 解已知两个平面相交直线
定 🌹 义：
平面：空间中由 🌿 无限多条直线组 🌺 成的平面。
相交直线：两 🐵 条不同的直线在空间中有一个公共 🌾 点。
求解 🐬 步 🐧 骤 🪴 ：
1. 设 🐋 定坐标系 🌴 ：
在空间中建立一个笛卡尔坐标系，使得 🐯 两个平面分别 🐞 为 🦆 ：
P1: ax + by + cz + d1 = 0
P2: a'x + b'y + c'z + d2 = 0
2. 求 💐 出法向 🐋 量：
两 🌸 个平面的法向量分别为 🦢 ：
```
n1 = (a, b, c)
n2 = (a', b', c')
```
3. 求出直线方向 🦅 向量：
相交直线在两个平面 💮 的交点处的方向向量与两平面法向量垂直，因此方向向量为：
```
v = n1 x n2
```
4. 求出 🐶 交点：
代入其中一 🐶 个平面方程，求出交点坐 🐛 标 🐎 ：
```
a x0 + b y0 + c z0 + d1 = 0
```
5. 求 🌼 出 🌷 参数 🐋 方程：
相 🐵 交直线的参数 💐 方程 🐛 为：
```
x = x0 + vt
y = y0 + wt
z = z0 + ut
```
其中，(x0, y0, z0)是交点坐标是，v、w、u方v向向量 🐟 的三个分量是，t参数。
注意事项 🪴 ：
如果两平面平 🐬 行，则没有相交直线。
如果两平面重合，则相交直线为两平 🐼 面内 🐘 所有直 🌺 线。
2、已知两个平面垂直,过一个平面内任意一点作交 🕷 线的垂线
已知两个平面α和β垂 🌴 直，过平面α内任意一点P作交 🌼 线的垂线PQ。
证 🐋 明：
过点P作 🌺 直线PA，与 💮 β平面交于点 🐎 A。
由于α和β垂直，所以 🦍 垂直 🐧 于PA平β面。
因 🐟 此 🦊 ，PQ перпендикуляр于 PA。
又因为 🦊 PQ перпендикуляр于 β平面，所PQ перпендикуляр以于 β平面上的直线AQ。
故PQ垂直于 🦊 三角形 🐡 PAQ的平面，即于PQ перпендикуляр交 🌲 线AQ。
过α平面内任意一点作交线的垂线垂 🐠 PQ直于 🍁 交线AQ。
定 🪴 理 🦍 ：
已知两个平面垂直，过，一个平面 🌻 内任意一点作交线的垂线这条垂线垂直于交线。
3、知道两个平面的方程如何确定交线 🐯 的方程
4、已 🐯 知两平面的方程求交线的方向向量
已知两平面 🦉 的方程求交线的方向向量
求两平 🐘 面的交线的方法 🍁 有多种，其中一种是利用交线的方向向量来求交点。已知两平面的方程为：
```
Ax + By + Cz + D = 0
A'x + B'y + C'z + D' = 0
```
则交 🦆 线的方 🦢 向向量为：
```
u = (B'C - BC', C'A - CA', A'B - AB')
```
证 🌳 明 🐒 ：
设交线上的任意一点为 🕷 P(x0, y0, z0)，则有：
```
Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0
A'x0 + B'y0 + C'z0 + D' = 0
```
令 🌹 ：
```
x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct
```
其中 a, b, c 是参 🌿 数。则 P 点在第一平面上运动时，a、b、c 满足 🦈 ：
```
(B'C - BC')a + (C'A - CA')b + (A'B - AB')c = 0
```
即 🐘 ：
```
u ? (a, b, c) = 0
```
这说明 u 与交 🐞 线上的任意向量垂直，因 u 此是交线的方向向量。
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