1、过定点直线与椭 🌲 圆相交求面积

设过定点直线为 🌺 $y=kx+b$，椭 🦊 圆方程为 💮 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$。

直线与椭圆 🐦 相交，则有

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{(kx+b)^2}{b^2}=1$$

化简 🕸 为

$$b^2x^2+(ka^2+b^2)x^2+2bk^2x+k^2a^2b^2-a^2b^2=0$$

这是一元 🌷 二 🌾 次方程，令 $t=x^2$，得 🦉

$$b^2t+(ka^2+b^2)t+2bk^2t+k^2a^2b^2-a^2b^2=0$$

求 🦉 解得到

$$t_1=\frac{-(ka^2+b^2)-\sqrt{(ka^2+b^2)^2-4b^2(k^2a^2b^2-a^2b^2)}}{2b^2}$$

$$t_2=\frac{-(ka^2+b^2)+\sqrt{(ka^2+b^2)^2-4b^2(k^2a^2b^2-a^2b^2)}}{2b^2}$$

$$x_1=\sqrt{t_1}, x_2=-\sqrt{t_1}, x_3=\sqrt{t_2}, x_4=-\sqrt{t_2}$$

椭圆 🐈 与直线之间 🦄 的面积为

$$S=\int_{x_1}^{x_2}ydy+\int_{x_3}^{x_4}ydy$$

$$=\int_{x_1}^{x_2}(kx+b)dy+\int_{x_3}^{x_4}(kx+b)dy$$

$$=\left[\frac{k}{2}y^2+by\right]_{y=kx_1+b}^{y=kx_2+b}+\left[\frac{k}{2}y^2+by\right]_{y=kx_3+b}^{y=kx_4+b}$$

$$=\frac{k}{2}(x_2^2-x_1^2)+b(x_2-x_1)+\frac{k}{2}(x_4^2-x_3^2)+b(x_4-x_3)$$

2、求椭圆直线过定点的 🐛 方法

求椭 🌳 圆直线过定 🌾 点的方法

1. 点 🌲 斜式方程 🐘 法 🪴

已知点 \(P(x_0,y_0)\) 在椭圆 \(Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0\) 上，则椭 🐦 圆上过点 \(P\) 的直线方程为 🐦 ：

\(Bx_0y-Ayy_0+Cy_0^2+Ex_0+Ey_0+F=0\)

2. 斜 🐧 截式方 🦄 程法

若直线方程为 \(y=kx+b\)，则椭圆上过点 \(P(x_0,y_0)\) 的 🐡 直线 🌸 方程 🐋 为：

\(Bx_0(kx_0+b)+Cy_0(kx_0+b)^2+Ex_0+Ey_0(kx_0+b)+F=0\)

化为标准 🕸 形式后，若 🌿 有 \(k_{1}\) 和 🦁 \(k_{2}\) 满足：

\(k_{1}k_{2}=-\frac{B}{C}, \space k_{1}+k_{2}=-\frac{E+Bk_{1}x_0}{Cy_0}\)

则 🌴 该直线 🌾 方程为：

\(y=k_{1}x+b_{1}\) 或 🦈 \(y=k_{2}x+b_{2}\)

其中 💐 ，\(b_{1}\) 和 \(b_{2}\) 可由和 \(k_{1}\) 求 🌼 \(k_{2}\) 得。

3. 参数方 🌹 程 🦅 法 🦈

椭 🐟 圆参数 🦉 方程为 🍁 ：

\(x=a\cos t, \space y=b\sin t\)

则椭圆上过点 \(P(x_0,y_0)\) 的直线参数方 🌿 程为：

\(x=x_0+m(a\cos t-x_0), \space y=y_0+m(b\sin t-y_0)\)

其中 🌳 ，\(m\) 为 🌺 参 🐝 数。

3、椭 🌲 圆和 🐞 直线相交求面积

椭圆 🐞 与直线相交求面积

椭圆与直线相 🦊 交的面积计算涉及积分的应用。假设 🐅 椭圆方程 🌳 为：

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$

直线 🐛 方程为：

$$y = mx + c$$

考虑椭圆 🐝 上 🐒 与直线相交的两个点：

$$P_1 = (a\cos\theta, b\sin\theta)$$

$$P_2 = (a\cos\theta, -b\sin\theta)$$

其中 🦁 ，$\theta$是 🌺 满足方 🌲 程$\frac{a\cos\theta}{a^2} + \frac{b\sin\theta}{b^2} = 1$的角。

在直线$y = mx + c$上，对应 🌴 于$P_1$和$P_2$的点分别为：

$$Q_1 = (a\cos\theta, ma\cos\theta + c)$$

$$Q_2 = (a\cos\theta, ma\cos\theta + c)$$

因 🍀 此，椭圆和直线之 🍀 间的 🐛 面积可以表示为：

$$A = 2 \int_{0}^{\theta} \frac{1}{2} (a\cos\theta - ma\cos\theta - c) (b\sin\theta) d\theta$$

化简后 💮 得 🐛 到 🌺 ：

$$A = \frac{ab}{2} (m\cos^2 \theta + \sin^2 \theta - 1) d\theta$$

其中，$\theta$的范围从 🐅 0到$\pi/2$。

计算积分，得 🦉 到椭圆和直线之 🦁 间 🦊 的面积：

$$A = \frac{ab}{2} \left[\frac{1}{2}(m^2+1) \theta - \sin\theta\cos\theta\right]_{0}^{\pi/2}$$

$$A = \frac{\pi ab}{4} \left(1 - \frac{m^2}{m^2+1}\right)$$