1、如何 🐕 求两平 🌿 面相交的直线方程
如何求两 🦢 平面相交的 🐯 直线方程
求两平面相交直线方程的步 🌸 骤如下：
1. 求两平 🌳 面的 🦢 法向量 🦟
令两平面 🌴 方程分别为：
A1x + B1y + C1z + D1 = 0
A2x + B2y + C2z + D2 = 0
则 🐦 两平 🐺 面法向量分别为：
```
n1 = (A1, B1, C1)
n2 = (A2, B2, C2)
```
2. 求 🐵 法线量 🌻 的叉 ☘ 积
法线量的叉 🌾 积垂 🐬 直于两平面，因此可作为相交直线的方向向量：
```
d = n1 x n2 = (B1C2 - B2C1, A2C1 - A1C2, A1B2 - A2B1)
```
3. 求 🦊 直线的一 🐯 个点
直线上的任意一点 🌲 均满足两平面 🌺 方程，因此可由其中一个平面方程求得：
```
A1x + B1y + C1z + D1 = 0
```
取特殊值 `z = 0`，得到直线上的一 🐅 个 🐬 点：
```
(x0, y0) = (-D1/A1, -B1/A1)
```
4. 求直 🦟 线方程 💮
利用方向向量和一点，可写出直线方程 🐘 的参数式：
```
x = x0 + td1
y = y0 + td2
z = td3
```
其中，`t` 为任意 🦁 参数为，`(d1, d2, d3)` 方向向 🐴 量。
5. 消 🐧 去参 🦊 数 🐺
利用平面方程之一消去参数，得到 🌷 点斜式方程：
```
Ax + By + Cz + D = 0
```
或 🐎 者，利，用 🕷 方向向量消去参数得到对称式方程：
```
x/d1 = y/d2 = z/d3
```
2、如何求两 🦆 平面相交的 🦉 直线方程公式
如 🌳 何求两平面相交的直线方 🌾 程公式
给 🌷 定两平 🐟 面 🦆 ：
```
Π?：ax + by + cz + d? = 0
Π?：a'x + b'y + c'z + d? = 0
```
求其相交 🐛 的直线方程，步骤如下 🦄 ：
1. 求法向 🦍 量 🦁 叉 🐞 积：
求出两平面的 🐯 法向量 🐼 叉 🌸 积：
```
n = (a, b, c) × (a', b', c') = (bc' - b'c, ca' - c'a, ab' - a'b)
```
2. 求过 🦉 一 🐳 点的方向向量：
选择一点（p?, p?, p?）在两平面相交的直线上，该点可由两平面的方程组求解 🐶 得到。其方向向量为：
```
v = (x?, y?, z?) - (p?, p?, p?)
```
3. 构造直 🐯 线方 🦈 程：
过点（p?, p?, p?）的直 🌾 线方程为 🐠 ：
```
x = p? + tv?
y = p? + tv?
z = p? + tv?
```
其中 💮 ，(v?, v?, v?) = v，t为参 🐎 数 🐒 。
以上即为两 🦅 平面相交的直线方程的公式。
3、如何求 🦊 两平 🌾 面相交的直线方程式
如何求两 🪴 平 🐘 面相交的直线方 🌾 程式
设 🐱 两平 🐕 面为：
```
P1：ax+by+cz+d1 = 0
P2：a'x+b'y+c'z+d2 = 0
```
步骤 1：求 🪴 解两平面 🌷 法向量
两平面 🦢 法向 🌵 量分别为 🦅 ：
```
N1 = (a, b, c)
N2 = (a', b', c')
```
步骤 2：求解两向 🐈 量交差的 🕸 向 🦉 量
两平面相交的直线方向向量为 N1 与的交 N2 差向 🦁 量 🐟 ：
```
V = N1 × N2 = (bc'-b'c, ca'-c'a, ab'-a'b)
```
步 🐦 骤 3：求 🐵 解点 P 在线上的坐标
求解两平面交点 P 的坐标，使 P 得满足两个 🐝 平面方程：
```
ax + by + cz + d1 = 0
a'x + b'y + c'z + d2 = 0
```
步骤 4：用 🕷 V 和 P 求直线方程
已知直线方向向量 V 和过 🐧 点 P，可写出两平面 🦍 相交的直线 🍀 方程：
```
x = x0 + vt
y = y0 + wt
z = z0 + ut
```
其中 (x0, y0, z0) 是点 P 的坐 🌴 标是 🕸 ，t 参数 🐵 。
4、求两个 🦍 平面相交的直 🐋 线方程
求两个平面 🐼 相交的直线方程
给定两个平面 🐛 ，求它 🐶 们相交的直线方程。
方 🦈 法：
1. 确定法向量：求出两个平面的法向量 🐒 n? 和 n?.
2. 确定方向向量：因为交线是两个平面的公共部分，所以其方向向量 d 与 🌲 n? 和 🦁 n? 都垂直 🐈 。
3. 构造直线 🦟 方程：交线：的 🐱 直 🐼 线方程为
```
r = P + td
```
其中，P 是交线 🕸 上的 🌼 任意一点是，t 参数。
求解 🐺 步 🌵 骤 🌼 ：
1. 求 🦟 出法向量：
```
n? = (a??, b??, c??)
n? = (a??, b??, c??)
```
2. 求出方 🐅 向向 🦅 量：
```
d = n? × n?
```
3. 求交线上的任意一点 🕸 ：
从第一个平面的方程 🐠 求出任意一点 P：
```
P? = (x??, y??, z??)
```
或者，从 🐒 第二个平面的方程求出任意一点 P?：
```
P? = (x??, y??, z??)
```
4. 构 🦟 造直线方 🐴 程：
将 P? 或 P?、d 代入直线方程即可得到交线 🐼 的直线方程：
```
r = P? + td
r = P? + td
```
示 🌳 例 🐵 ：
求两个平面 x + y - z = 0 和 2x + 3y + 4z = 12 相 🌸 交的直线方程 🕸 。
解 🐼 ：
1. 法向 🦢 量 🦅 ：n? = (1, 1, -1), n? = (2, 3, 4)
2. 方 🐬 向 🦟 向量 🦉 ：d = n? × n? = (-7, 1, 11)
3. 任 🐋 意一 🌵 点：P? = (1, 0, 1)（从第一个平面的方程求得）
4. 直 🌹 线方 🦆 程：r = (1, 0, 1) + t(-7, 1, 11)
因此，两个平面的 🐕 相交直线方程为 r = (1, 0, 1) + t(-7, 1, 11)。
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