1、两平面求相交直 🦢 线
两 ☘ 平面求相交直 🦈 线 🦍
给定 🐠 两个平面，求 🦍 这两平面相交的直线的方法如下：
1. 建立坐 🌹 标系： 选择一个原点和三个相互垂直 💮 的单位向量，分别表示和 x、y 轴 z 。
2. 表示平面 🌼 方程： 每个平面都可以用方程 Ax + By + Cz + D = 0 来表示，其中 A, B, C 和 🌺 D 是常数。
3. 解方程 🐡 组： 令两平面方程组中的 z 为参数 t，得：到以下方程组 🪴
Ax + By + Ct + D = 0
Ax + By + Ct + D' = 0
其中 D 和 🐦 D' 是两 🌾 个平面的常 🐡 数项。
4. 消 🦄 元： 对两 🌷 个方程消元，得到一个关于 t 的方 🕊 程，形：式为
```
(C - C')t = D - D'
```
5. 求解求解 🐧 t： 方程得 🐎 到 t 的值。
6. 代入一个平面方程： 将求得的 t 值代入任意一个平面方程得，到相交直线 🦅 在该 🌷 平面上的点坐标。
7. 求解相 🕊 交直线： 为了 🐎 求得相交直线，需要再确定一个方向向量。可。以选择两个平面 🍀 的法向量叉积得到的方向向量
8. 表示相交直线相交 🌻 直线： 的：参数方程如下
```
x = x0 + td1
y = y0 + td2
z = z0 + td3
```
其中 🦋 (x0, y0, z0) 是相交直线在第一个平面上的点坐标是相 🐵 交直 🦋 线的，(d1, d2, d3) 方向向量。
2、如何求两平面相交 🐯 的直线方程
如何求两平 🌿 面相 🌷 交的直线方程 🌼
求两平面 🐧 相交的直线方程，可以采用以 🌸 下步骤：
第一 🦋 步：求出两平面的方向向 🌳 量
设两平面的方 🐡 程为 🦍 ：
```
A1x + B1y + C1z + D1 = 0
A2x + B2y + C2z + D2 = 0
```
则两平面的方向向 🐎 量分别为：
```
n1 = (A1, B1, C1)
n2 = (A2, B2, C2)
```
第二步：求 🌿 出两平面 🌲 的法线向量的叉积
两平面的法 🕸 线 🐈 向量的叉积正交于两平面 🐦 ，因，此叉积：
```
m = n1 × n2
```
将向量 m 分解为 🍀 与 x、y、z 平行的分量，即 🐯 ：
```
m = (a, b, c)
```
第三步：求出 🐛 任意 🐘 点上的直线方程
两平面相交的直线方程可以通 🦄 过一个包含该直线的参数方程组来表示：
```
x = x0 + at
y = y0 + bt
z = z0 + ct
```
其中，(x0, y0, z0) 为直线上任意一点为，t 参 🐞 数。
第四步：求出直 🐛 线方 🦟 程的普通方程
将参 🦋 数方 🕷 程组中的 t 消去，即可得到直线方程的普通方程：
```
(y - y0) c - (z - z0) b = 0
(z - z0) a - (x - x0) c = 0
(x - x0) b - (y - y0) a = 0
```
其 💮 中，(x0, y0, z0) 可取两平面 🐅 的交点 🐅 坐标。
3、两平面求相交直线方 🍁 程公式
两平面求 🌻 相交直线 🪴 方程公式
设两 🐬 平面 🐯 方程 🦊 为
P1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0
P2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0
则 🐝 它们相 🐝 交直线方 💮 程为：
x = (D2C1 - D1C2)t + λ(B2C1 - B1C2)
y = (D1A2 - D2A1)t + λ(C2A1 - C1A2)
z = (D1B2 - D2B1)t + λ(A2B1 - A1B2)
其中，t 为任意实数为，λ 向量 (B2C1 - B1C2, C2A1 - C1A2, A2B1 - A1B2) 的方向向 🦉 量。
证明 🌿 ：
1. 求解交线方 🐒 程组：
- 将 P1 代入 P2，得 🐒 到关于 x 的 🐈 方程；
- 将 P2 代 🌷 入 P1，得到关于 y 的 🐒 方程；
- 将 x、y 代入 P1，得到关于 🐞 z 的方程。
得出的方程 🍁 组表 🌷 示交线方程，且形如：
x = a0 + λa1
y = b0 + λb1
z = c0 + λc1
2. 将交线方程 🐅 代入 🐶 λ：
- 将 x 方 🐴 程代入方程 y 得，到关于 λ 的 🐞 方程；
- 将 x 方程 🐯 代 🦅 入方程 z 得，到关于 λ 的方 🌴 程。
解 🐵 得 λ = t，即交线方程可以 🐱 表 🕸 示为：
x = a0 + t a1
y = b0 + t b1
z = c0 + t c1
3. 化简为向 🐟 量形式：
将 🐟 a0、a1、b0、b1、c0、c1 用两平面的系数表示，整理 🌾 可得：
x = (D2C1 - D1C2)t + λ(B2C1 - B1C2)
y = (D1A2 - D2A1)t + λ(C2A1 - C1A2)
z = (D1B2 - D2B1)t + λ(A2B1 - A1B2)
4、求两个平面 💮 相交的 🦄 直线方程
平面相 🌿 交直 🐵 线方程 🐬
当两个平面相交时，它，们形成 🐱 一条直线该直线称为两 🐦 平面相交线。求解两平 🦄 面相交线的方程需要以下步骤：
1. 确定法向量：计算两个平面的法向 🐼 量，它 🐅 们分别与平面垂直。
2. 求 💮 解方程组：令一个平面的方程等于另一个平面的方程，得到一个包含 🦅 三个变量的方程组。
3. 求解参数方程：将其中一个变量表示 🐕 为另外两个变量的参数，得到直线的参数方程。
4. 化简参数方程 🌵 ：将参数方 🐯 程化简为点向量的形式，即方程：组
```
x = x0 + at
y = y0 + bt
z = z0 + ct
```
其中，(x0, y0, z0) 是直线上 🌲 一点的坐标是，(a, b, c) 方向 🍁 向量。
示 🌻 例 🌷 ：
求 🐡 解平面：
```
x + y + z = 3
x - y + 2z = 5
```
相交 🐺 线的 🐘 方程如下：
1. 法向 🐬 量：(-1, 1, 1) 和 (1, -1, 2)
2. 方 🕸 程 🪴 组 🐘 ：x + y + z - 3 = x - y + 2z - 5
3. 参 🌴 数 🕷 方程 ☘ ：x = t + 3, y = t, z = t
4. 点向量方程 🐈 ：
```
x = (1)t + 3
y = (0)t + 1
z = (0)t + 2
```
因此，两平 🐳 面相交 🐛 线的方程为 🦄 ：
```
x = 3 + t
y = 1
z = 2
```
本文来自新尧投稿，不代表侠客易学立场，如若转载，请注明出处：http://www.skyjtgw.com/754322.html
微信扫一扫 
