1、求与两球面都相切的 🌼 圆柱面 🕸 方程
已知两 🌴 个 🌲 球面方程为：
S1：x^2 + y^2 + z^2 = R1^2
S2：x^2 + y^2 + z^2 = R2^2
其 🦆 中，R1 和 R2 是球 🌾 面的半 🦆 径。
求与这两个球面 🐛 都相切的 🌺 圆 🦢 柱面的方程。
由于圆柱面与两个球面相切，因此圆柱面的轴线必须垂 🐅 直于连接两个球心的直线段。设连接球心 O1 和的直线段 O2 为 L，则圆柱面的轴线与垂直 L 。
设圆柱 🌾 面的方程 🐝 为 🌲 ：
```
(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2
```
其中，(a, b) 是圆柱面轴 🕷 线在 xy 平面 🕸 上的投影是圆柱面的，r 半径。
由条件可知，圆 🐋 柱面 🐳 与球面 S1 相切的中心点为与球 🐛 面相切的中心点为：(a, b, ±(R1 - r))， S2 ：(a, b, ±(R2 - r))。
将这些中心点代 🪴 入球面方程 S1 和 S2，得到 🐋 ：
```
a^2 + b^2 + (R1 - r)^2 = R1^2
a^2 + b^2 + (R2 - r)^2 = R2^2
```
联立 🐛 上述方程，消 🐋 去 r，得 🐯 ：
```
(R1 - R2)^2 = 4a^2 + 4b^2
```
解 🐋 得：
```
a^2 + b^2 = (R1 - R2)^2 / 4
```
因此，圆柱面 🕷 的 🌸 方程为 🍁 ：
```
(x - a)^2 + (y - b)^2 = (R1 - R2)^2 / 4
```
其中，(a, b) 满足上面求出 🕊 的条件。
2、与球面x2+y2+z2=9相切 🌸 于 🕸 点221的平面方程
与 🦆 球面 🌷 相切的平 🦢 面方程
若平面方程为 Ax + By + Cz + D = 0，与球面 🦋 x2 + y2 + z2 = 9 相切于点 (2, 2, 1)，则满足 🌷 以下条件：
点 🐴 (2, 2, 1) 在平 🌳 面上： 2A + 2B + C + D = 0
平面与球面在该点处相切球面： 法线为在处法线 🌲 为与平面法线平 (2x, 2y, 2z)，行 (2, 2, 1) 即 (4, 4, 2)， (A, B, C) ， 4A = 4B = 2C
平 🐼 面通过点 (0, 0, 0)： D = 0
根据 🦄 条 🪴 件，有 🐘 ：
2A + 2B + C = 0
4A = 4B = 2C
D = 0
解 🕊 得：A = B = 1/2，C = 1。
因此，与 🌻 球面 🐼 x2 + y2 + z2 = 9 相切于点 (2, 2, 1) 的平面方 🐶 程为：
x + y + z = 0
3、求与两球面都 🦊 相切的圆柱 🌷 面方程怎么求
求与两球面都相 🐟 切的 🐅 圆柱面方程
引 🐛 理：
若 🦋 两球面方 🌼 程 🦊 为：
球面 🕷 A：x^2 + y^2 + z^2 + 2A1x + 2B1y + 2C1z + D1 = 0
球 🐞 面 🐧 B：x^2 + y^2 + z^2 + 2A2x + 2B2y + 2C2z + D2 = 0
则圆 🌻 柱 🐶 面 🐯 方程为：
(x - Xc)^2 + (y - Yc)^2 = R^2
其中，(Xc, Yc) 为圆柱面中心 🐛 为，R 半径。
解 🐕 法 🐡 ：
1. 求交 🐧 线方 🌵 程 🐼 ：
设圆柱面方程为：(x - Xc)^2 + (y - Yc)^2 = R^2，求交线方程圆柱 🐘 面。与，球面：相切因此交 🐬 线方程为
与 🌹 球 🐞 面 A 相切 🦋 ：x^2 + y^2 + z^2 + 2A1x + 2B1y + 2C1z + D1 = (x - Xc)^2 + (y - Yc)^2
与球面 🦅 B 相 🐈 切：x^2 + y^2 + z^2 + 2A2x + 2B2y + 2C2z + D2 = (x - Xc)^2 + (y - Yc)^2
2. 消 🕸 去平方项：
对两个交线方程两边同时 🦢 减去 x^2 + y^2 + z^2，得到：
2A1x + 2B1y + 2C1z + D1 = 2Xc x + 2Yc y
2A2x + 2B2y + 2C2z + D2 = 2Xc x + 2Yc y
3. 求圆柱面中 🍀 心：
令 🕊 上述两个 🕊 方程中 x、y、z 的系数相等，得到：
Xc = -(A1 + A2)
Yc = -(B1 + B2)
4. 求圆 🦄 柱 🐱 面 🐯 半径：
令上述两个方 🐟 程中的常数 🦊 项相等，得到：
D1 + D2 = R^2
5. 代入 🌸 圆柱面 🐅 方程 🐴 ：
将 🌷 求得的圆柱面中心和半径代入方程：(x - Xc)^2 + (y - Yc)^2 = R^2，即可得到与两 🌼 球面都相切的圆柱面方程。
4、与两球面均相 🌳 切 🦟 的圆柱面方程
与两球面均 🌼 相切的圆柱面方程
设两个 🦍 球面的方 🕸 程分别为 🐋 ：
$$(x-a_1)^2+(y-b_1)^2+(z-c_1)^2=r_1^2$$
$$(x-a_2)^2+(y-b_2)^2+(z-c_2)^2=r_2^2$$
其 🌿 中 $(a_1, b_1, c_1)$ 和 $(a_2, b_2, c_2)$ 分别为球心坐标和分别为，$r_1$ 半 $r_2$ 径。
要找到与这两个球面都相切的圆柱面，首先需要找到这两个球面的公 🍁 切平面：
$$Ax+By+Cz+D=0$$
这个平面与两个球 🐈 面的交线都是圆圆，柱面的轴线就是这两 🌺 条圆的公切线。
设公切 🕷 平面的法向量为 $(A, B, C)$，那么圆柱面的轴线方向向量为：
$${\bf n}=(A, B, C)$$
圆柱面的圆截 🕷 面 🐬 半 🦊 径为：
$$r=\frac{1}{2}\left| \frac{D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \right|$$
圆柱 🐋 面的方程可 🐘 以表 🦅 示为：
$$\left( x-\frac{a_1+a_2}{2} \right)^2 + \left( y-\frac{b_1+b_2}{2} \right)^2 + \left( z-\frac{c_1+c_2}{2} \right)^2 = \left( \frac{r_1+r_2}{2} \right)^2$$
其中 $\left( \frac{a_1+a_2}{2}, \frac{b_1+b_2}{2}, \frac{c_1+c_2}{2} \right)$ 是公切 💮 平面与 🦉 圆柱面轴线的交 🦢 点。
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