1、平面立体与回转体相交其相贯线
平面与立体相交时，形成相贯线。若立体为回转体，则相贯线将具有回转曲面的性质。
回转体的性质
回转体是由平面图形绕其平面内某直线旋转一周所形成的立体。其截面为与回转轴平行的圆形。
与平面相交
当平面与回转体相交时，形成的相贯线为：
圆形：当平面平行于回转轴时，则相交形成圆形。
椭圆形：当平面倾斜于回转轴时，则相交形成椭圆形。
双曲线形：当平面与回转轴相切时，则相交形成双曲线形。
相贯线性质
与回转体相交的相贯线具有以下性质：
长度：相贯线的长度等于平面与回转体截面的周长。
曲率：相贯线的曲率等于截面圆的曲率。
与回转轴的关系：相贯线与回转轴平行，且其法线垂直于回转轴。
应用
平面与回转体相交的相贯线在工程和设计领域有着广泛的应用，例如：
管道与容器的尺寸设计：相贯线可用于计算管道或容器与障碍物的最小间隙。
隧道与坡道的造型：相贯线可用于设计隧道和坡道的形状，以确保安全性和通行性。
机械零件的配合：相贯线可用于分析机械零件的配合间隙和公差。
2、平面立体与回转体相交其相贯线是封闭的平面折线。A对
平面立体与回转体相交，其相贯线是封闭的平面折线，此断言为真。
设平面立体为平面区域R围成的立体，回转体为平面区域S绕旋转轴L旋转一周所成的。
根据平面区域的定义，平面区域R和S均为连通集，且R与S的边界线段两端不重合。
令相贯线为封闭折线P，P包含m条线段。
由于P是相贯线，故P的每条线段都与R和S相交，且相交点分别是R与S的边界线段上的点。
假设相贯线P的第i条线段与R的边界线段相交于点A_i，与S的边界线段相交于点B_i（i=1, 2, ..., m）。
由于A_i和B_i分别属于R和S的边界线段，且P的第i条线段与R和S相交，故A_i和B_i必定为P的相邻顶点。
因此，P的顶点序列为A_1, B_1, A_2, B_2, ..., A_m, B_m。
由于P是封闭折线，故A_m和B_m重合。
又由于R和S的边界线段两端不重合，故A_1和B_1也重合。
相贯线P的闭合性得证。
由于相贯线P的每条线段都与R和S相交，且相交点分别是R与S的边界线段上的点，故相贯线P是封闭的平面折线。
因此，平面立体与回转体相交，其相贯线是封闭的平面折线。
3、平面立体与回转体相交其相贯线是封闭的平面折线
平面立体与回转体相交，相贯线是指两者的交线。当相贯线形成封闭的平面折线时，平面立体和回转体的相交关系满足以下性质：
1. 共点共线：相贯线的端点在两个相交曲面上。
2. 封闭性：相贯线由线段组成，形成一个封闭的折线段。
3. 折线角相等：折线段之间的角度相等，形成一个规则多边形。
出现这种情况的一个典型例子是正方形和圆柱体的相交。当正方形平行于圆柱体的轴线时，两者的相贯线形成一个正八边形。
证明该性质可以使用立体几何中的平面截面法。沿相贯线切开两个相交图形，得到一个截面。截面上两条相交曲线的交点就是相贯线上的一点。由于截面平行于相贯线，因此截面上的多边形与相贯线的形状相同。
相贯线形成封闭折线这一性质在工程和设计领域有重要应用。例如，在机械设计中，可以利用此性质来设计齿轮和齿轮传动系统；在建筑设计中，可以利用此性质来设计拱形结构和穹顶结构。
4、3-3-1平面体与平面体及回转体相交
3-3-1平面体与平面体及回转体相交
3-3-1平面体，又称截半立方八面体，是一种具有3个四边形面、3个六边形面和1个八边形面的多面体。当3-3-1平面体与其他几何体相交时，会产生一系列有趣的形状。
与平面体的相交：
与立方体相交：形成一个六角柱，其六边形面与3-3-1平面体的六边形面重合。
与八面体相交：形成一个十二面体，其六边形面与3-3-1平面体的四边形面重合。
与正十二面体相交：形成一个星形二十面体，其五角星面与3-3-1平面体的八边形面重合。
与回转体的相交：
与球相交：形成一个截半球，其圆形截面与3-3-1平面体的四边形面重合。
与圆柱相交：形成一个截半圆柱，其圆形截面与3-3-1平面体的六边形面重合。
与锥体相交：形成一个截半锥体，其圆形截面与3-3-1平面体的八边形面重合。
这些相交形状在几何学中具有广泛的应用，例如：
设计对称的建筑结构和艺术品。
分析分子的晶体结构和化学键合。
创建复杂的几何建模和动画。
理解3-3-1平面体与其他几何体的相交原理对于深入探索多面体几何、拓扑学和数学建模至关重要。
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