平面与圆锥相交（平面与圆锥相交,当截平面()时,截交线形状为三角形）-侠客易学

平面与圆锥相交时，会产生不同的截面形状，取决于平面的位置和方向。

平行于圆锥底面

如果平面平行于圆锥底面，则截面是一个圆。圆的半径等于平面与圆锥底面的距离乘以圆锥的高除以圆锥底面的半径。

与圆锥轴线相交

如果平面与圆锥轴线相交，则截面是一个三角形。三角形的高等于圆锥的高，底等于平面与圆锥底面的距离乘以2。

倾斜相交

如果平面既不平行于圆锥底面，也不与圆锥轴线相交，则截面是一个椭圆。椭圆的长半轴长度等于圆锥底面的半径乘以平面与圆锥顶点的距离除以圆锥的高。椭圆的短半轴长度等于椭圆的长半轴长度乘以圆锥底面的半径除以圆锥的高。

特殊情况

如果平面经过圆锥顶点，则截面是一个直线段。

如果平面与圆锥轴线平行，且与圆锥底面相交，则截面是一个圆弧。

如果平面与圆锥底面相切，则截面是一个半圆。

平面与圆锥相交的截面形状与平面的位置和方向密切相关，可以通过几何计算来确定截面的形状和尺寸。

当平面与圆锥相交时，截交线的形状取决于平面的倾斜程度和圆锥的形状。而当截平面与圆锥底面平行，即截平面垂直于圆锥轴线时，截交线是一个三角形。

为了证明这一点，我们可以将圆锥和截平面放置在笛卡尔坐标系中，其中圆锥的顶点位于原点，轴线沿 z 轴，底面位于 x-y 平面。截平面与 x-y 平面平行，且距离原点高度为 h。

以圆锥底面圆心为圆心，半径为 r 的圆与截平面的交点为 A 和 B，则 A、B 点的坐标分别为 (r, 0, h) 和 (-r, 0, h)。

过圆锥顶点和 A、B 两点的平面与截平面相交，形成两条直线 l1 和 l2。直线 l1 和 l2 与 x-y 平面的交点分别为 C 和 D，其中 C 点坐标为 (r, r, h)，D 点坐标为 (-r, -r, h)。

进一步证明，直线 CD 与 AB 平行。由于 CD 和 AB 分别平行于 x 轴和 y 轴，因此平面 ACD 与平面 BCD 平行于 z 轴。而平面 ACD 和平面 BCD 与截平面垂直，因此平面 ACD 和平面 BCD 与截平面的截线分别为 AC 和 BD，且 AC 平行于 BD。

当截平面与圆锥底面平行时，截交线形状为三角形，这个三角形与圆锥底面同心，边长为 2r。

当一个平面与一个圆锥相交，且该平面平行于圆锥轴线时，截交线是一个圆。这个圆的半径等于与平面相交的圆锥底面的半径。

要证明这一点，设圆锥的轴为 L，底面为圆 O，且截交线为圆 C。过圆 O 的中心作平面 P 平行于 L，则平面 P 与圆锥相交于圆 O。

由于平面 P 平行于 L，因此平面 P 与圆锥的轴面相交于直线 l，l 平行于 L。直线 l 与底面圆 O 相交于点 A 和 B。

由于截交线 C 在平面上，因此 C 在平面 P 上。由于圆 C 是平面 P 与圆锥相交的曲线，因此 C 是平面 P 与圆锥侧面的交线。由于平面 P 平行于 L，因此平面 P 与圆锥侧面相交于直线 d，d 平行于 L。

因此，圆 C 是直线 d 与圆 O 的交集。由于 d 平行于圆 O 的中心，因此 d 垂直于圆 O 的弦 AB。因此，C 是过 AB 垂直平分线的圆。

由于 AB 是圆 O 的直径，因此 C 的半径等于圆 O 的半径。由此可得，截交线 C 是一个圆。

当平面与圆锥相交，且截平面平行于一条素线时，截交线为一个椭圆。

为了证明这一点，我们考察一个圆锥，它的底面圆为O，顶点为V，一条素线为VL。假设截平面为P，平行于素线VL。

将圆锥沿VL平面展开，得到一个扇形，其中弧AO对应于底面圆的一部分，弧OL对应于素线VL。截平面P与扇形相交，形成一个弦OA'，平行于弦OL。

现在，将展开的扇形重新卷回圆锥，弦OA'在底面圆上形成一个弦A'B'，平行于素线VL。同时，弦OA'与截平面P相交，形成截交线AB。

由于弦A'B'平行于素线VL，因此它是底面圆O上直径的一段。而截交线AB在截平面P上，因此它是一个椭圆的一部分。

因此，当平面与圆锥相交，且截平面平行于一条素线时，截交线是一个椭圆。

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平面与圆锥相交（平面与圆锥相交,当截平面()时,截交线形状为三角形）