1、两两相交且不共点的三条直线共面
两条不共点的直线相交必定共面，而三条两两相交且不共点的直线共面也是显而易见的。
假设有三条直线，分别为 l1、l2 和 l3。由于 l1 和 l2 相交，它们一定共面，设该平面为 π1。同理，l2 和 l3 相交，它们共面于平面 π2。由于 l1 和 l3 也相交，它们同样共面于一个平面 π3。
现在，我们需要证明 π1、π2 和 π3 重合。
由于 l1 和 l2 同时属于 π1 和 π2，所以 π1 和 π2 相交于一条直线，记为 m。
由于 l2 和 l3 同时属于 π2 和 π3，所以 π2 和 π3 相交于一条直线，记为 n。
由于 l1 和 l3 相交，它们一定属于 m 或 n。但 l1 和 l2 不共点，所以 l1 不在 n 上；同理，l3 不在 m 上。因此，l1 和 l3 都在 m 上。
m 就是 π1、π2 和 π3 的交线。因此，π1、π2 和 π3 重合。也就是说，两两相交且不共点的三条直线 l1、l2 和 l3 共面。
2、两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内
三条直线两两相交而不共点，必然在同一个平面内。
设三条直线为l?、l?、l?，它们两两相交于点A、B、C。
证明：
1. 证明点A、B、C共面：
过点A作直线l?′⊥l?，作直线l?′⊥l?。则l?′与l?′垂直，l?′与l?垂直。因此，l?′⊥l?。故点A、B、C共面。
2. 证明l?、l?、l?在同一平面内：
过点A作直线l⊥l?′，则l⊥l?和l?。过点B作直线m⊥l?′，则m⊥l?和l?。
因此，l?在平面α1中，l?在平面α2中，l?在平面α3中。
由于点A、B、C共面，则平面α1、α2、α3相交于一条直线。因此，l?、l?、l?在同一个平面内。
3、两个相交平面存在不在一条直线上的三个公共点
在三维空间中，两个相交平面可能存在不在一条直线上的三个公共点。这个性质可以在诸多日常生活中和数学领域中得到应用。
考虑日常生活中的例子。建筑物或机器中经常使用框架和支撑结构。这些结构通常由两个或多个平面组成，为了提供足够的稳定性，这些平面需要在不重合的情况下相交。为了实现这一目标，工程师们需要确保这三个平面存在三个不在同一条直线上的公共点，从而形成一个稳定的三角形结构。
在数学领域，这个性质在几何和拓扑学中都有着重要的意义。在几何中，它可以用来证明空间中的两个平面相交时，它们的交线必定是一条直线。在拓扑学中，这个性质被用来定义扭结。扭结是在三维空间中彼此相交但不在同一平面的闭合曲线。
要证明两个相交平面存在不在一条直线上的三个公共点，可以采用以下步骤：
1. 假设两个相交平面为 P 和 Q。
2. 取 P 和 Q 的两个不同交点 A 和 B。
3. 由于 P 和 Q 是平面，因此存在一条直线 l 经过 A 和 B。
4. 如果 l 与 P 和 Q 相交于 A 和 B 之外的一点 C，则 C 不在 l 上且是 P 和 Q 的公共点。
5. 否则，l 与 P 或 Q 存在一个不同的交点 D。在不失一般性的情况下，假设 D 在 P 上。
6. 考虑过 D 的平面 R，该平面与 P 重合。
7. 由于 P 和 Q 相交，因此 R 与 Q 也相交。
8. R 与 Q 的交点 E 不在 l 上且是 P 和 Q 的公共点。
因此，我们证明了两个相交平面存在不在一条直线上的三个公共点。
4、三条直线两两相交且不共点有几个同旁内角
三条直线两两相交且不共点，则有三个交点。过这三个交点可以作六条直线，其中三条交于第一交点，三条交于第二交点，三条交于第三交点。
对于第一交点，由于三条直线不共点，所以这三条直线各自所在的平面不同。因此，以第一交点为顶点，这三条直线所在的三个平面所成的三个角都是同旁内角。同理，第二和第三交点也有三个同旁内角。
因此，总共有 3 × 3 = 9 个同旁内角。
可以进一步证明，这些同旁内角之和为 360°。这是因为，这三个交点所在的三条直线所在的三个平面相互垂直。因此，这三个平面内的九个同旁内角之和为 9 × 40° = 360°。
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